グラフに行列は付き物！！！

問題概要

$N$ 頂点の有向グラフが与えられる。自己ループを含み得るが、多重辺は含まないことが保証される。

各頂点に 0 か 1 の値が割り振られている (が、その値がわからない)。以下の操作を $T$ 回行った後の各頂点の数値が与えられる。元の値を復元せよ。ただし、解が存在しない場合はその旨を報告し、解が複数通り存在する場合もその旨を報告し、解が一意に定まる場合はその解を出力せよ。

「自分自身から出ている枝の終点の頂点が 1 であるものの個数が奇数個ならば、自分自身は次のターンで 1 になり、それ以外の場合は 0 になる」

制約

$1 \le N \le 300$

考えたこと

ライフゲームみたいな設定の問題！！！

こういうグラフ上のノードの値の遷移を扱うような問題は行列になるイメージがすごくある！！！

実際、行列の隣接行列 $A$ は以下のように自然に定めることができる

$A_{i, j}$ := ノード $i$ からノード $j$ へと繋がっていたら 1、そうでなければ 0

また、ノードの値をベクトル $v$ で表す。ノード $i$ の値が、1 回の操作の後でどうなるかをちゃんと考えてみる。 $j$ を $i$ から行けるノードとして、各 $j$ について

$v_i ← \sum_{j} v_j$

となることがわかる (「+」は ${\rm mod}. 2$ で考えている)。この演算はまさしく ${\rm mod}. 2$ で行列 $A$ とベクトル $v$ との積に対応していることがわかる！！！

つまり、1 回の操作は、ノードの値のなすベクトル $v$ に隣接行列 $A$ をかける操作に他ならない。したがって問題は

$A^{T} x = v$

を満たすベクトル $x$ を求めろという問題になる ( $A^{T}$ と書くと転置っぽいけど転置ではなくて $T$ 乗である...)。これは

$A^{T}$ を行列累乗によって求めて
連立一次方程式を解く

ことによって求めることができる。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <bitset>
using namespace std;
#define COUT(x) cout<<#x<<" = "<<(x)<<" (L"<<__LINE__<<")"<<endl



const int MAX_ROW = 310; // to be set appropriately
const int MAX_COL = 310; // to be set appropriately
struct BitMatrix {
    int H, W;
    bitset<MAX_COL> val[MAX_ROW];
    BitMatrix(int m = 1, int n = 1) : H(m), W(n) {}
    inline bitset<MAX_COL>& operator [] (int i) {return val[i];}
};

ostream& operator << (ostream& s, BitMatrix A) {
    s << endl; 
    for (int i = 0; i < A.H; ++i) {
        for (int j = 0; j < A.W; ++j) {
            s << A[i][j] << ", ";
        }
        s << endl;
    }
    return s;
}

inline BitMatrix operator * (BitMatrix A, BitMatrix B) {
    BitMatrix R(A.H, B.W);
    BitMatrix tB(B.W, B.H);
    for (int i = 0; i < tB.H; ++i) for (int j = 0; j < tB.W; ++j) tB[i][j] = B[j][i];
    for (int i = 0; i < R.H; ++i) for (int j = 0; j < R.W; ++j) R[i][j] = ((A[i] & tB[j]).count() & 1);
    return R;
}

inline BitMatrix pow(BitMatrix A, long long n) {
    BitMatrix R(A.H, A.H);
    for (int i = 0; i < A.H; ++i) R[i][i] = 1;
    while (n > 0) {
        if (n & 1) R = R * A;
        A = A * A;
        n >>= 1;
    }
    return R;
}

int GaussJordan(BitMatrix &A, bool is_extended = false) {
    int rank = 0;
    for (int col = 0; col < A.W; ++col) {
        if (is_extended && col == A.W - 1) break;
        int pivot = -1;
        for (int row = rank; row < A.H; ++row) {
            if (A[row][col]) {
                pivot = row;
                break;
            }
        }
        if (pivot == -1) continue;
        swap(A[pivot], A[rank]);
        for (int row = 0; row < A.H; ++row) {
            if (row != rank && A[row][col]) A[row] ^= A[rank];
        }
        ++rank;
    }
    return rank;
}

int linear_equation(BitMatrix A, vector<int> b, vector<int> &res) {
    int m = A.H, n = A.W;
    BitMatrix M(m, n + 1);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) M[i][j] = A[i][j];
        M[i][n] = b[i];
    }
    int rank = GaussJordan(M, true);

    // check if it has no solution
    for (int row = rank; row < m; ++row) if (M[row][n]) return -1;

    // answer
    res.assign(n, 0);
    for (int i = 0; i < rank; ++i) res[i] = M[i][n];
    return rank;
}




int main() {
    int N; cin >> N;
    BitMatrix A(N, N);
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        for (int j = 0; j < N; ++j) {
            int a; cin >> a;
            A[i][j] = a;
        }
    vector<int> v(N), res;
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> v[i];
    long long T; cin >> T;

    BitMatrix P = pow(A, T);
    int rank = linear_equation(P, v, res);
    int jiyudo = N - rank;

    if (rank == -1) puts("none");
    else if (jiyudo > 0) puts("ambiguous");
    else {
        for (int i = 0; i < N; ++i) {
            cout << res[i];
            if (i != N-1) cout << " ";
        }
        cout << endl;
    }
}

けんちょんの競プロ精進記録

競プロの精進記録や小ネタを書いていきます

AOJ 2624 Graph Automata Player (JAG 夏合宿 2013 day4-F) (550 点)

問題概要

制約

考えたこと