これを思い出した

問題概要

$H \times W$ のグリッドが与えられる。あるマスは壁 ('#') になっていて、あるマスは通路 ('.') になっている。通路マスが $K$ 個あるとして、すべての「通路マスの部分集合」 ( $2^{K}$ 通りある) に対して、以下の値を求めて、その合計値を 1000000007 で割ったあまりを求めよ。

該当する通路マスにライトを設置する
ライトは上下左右方向に壁にぶつかるまでマスを照らしていく
- ライトを設置したマス自体も照らす
一つ以上のライトに照らされたマス数を数える

制約

$1 \le H, W \le 2000$

考えたこと

この手の問題はもう超定番といえる定石がある。それは「各設置方法についてマス数を数えて合算する」のではなく、

各通路マスに対して、それを照らすようなライト設置方法の個数を数え上げて、それを合算する

という風にするのだ。その方法は次のようにして求められる。

マス $(i, j)$ から上下左右方向に壁にぶつかるまで進んで行けるマスの個数を $N(i, j)$ として
すべての設置方法のうち、 $N(i, j)$ マスに一つも設置されない場合の数を引けばよいので、
$2^{K} - 2^{N(i, j)}$ 通り

以上から、各 $(i, j)$ に対して $N(i, j)$ を求める問題に帰着された。それはもう次の問題そのもの。

drken1215.hatenablog.com

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() const { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        auto t = modpow(r, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * r;
        return t;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        return Fp<MOD>(u);
    }
};

const int MOD = 1000000007;
using mint = Fp<MOD>;

int H, W;
vector<string> fi;
int Left[2100][2100], Right[2100][2100], Up[2100][2100], Down[2100][2100];

int main() {
    // 入力
    cin >> H >> W;
    fi.resize(H);
    int K = 0;
    for (int i = 0; i < H; ++i) {
        cin >> fi[i];
        for (int j = 0; j < W; ++j) if (fi[i][j] == '.') ++K;
    }

    // 前処理
    for (int i = 0; i < H; ++i) {
        int cur = 0;
        for (int j = 0; j < W; ++j) {
            if (fi[i][j] == '#') cur = 0;
            else ++cur;
            Left[i][j] = cur;
        }
    }
    for (int i = 0; i < H; ++i) {
        int cur = 0;
        for (int j = W-1; j >= 0; --j) {
            if (fi[i][j] == '#') cur = 0;
            else ++cur;
            Right[i][j] = cur;
        }
    }
    for (int j = 0; j < W; ++j) {
        int cur = 0;
        for (int i = 0; i < H; ++i) {
            if (fi[i][j] == '#') cur = 0;
            else ++cur;
            Up[i][j] = cur;
        }
    }
    for (int j = 0; j < W; ++j) {
        int cur = 0;
        for (int i = H-1; i >= 0; --i) {
            if (fi[i][j] == '#') cur = 0;
            else ++cur;
            Down[i][j] = cur;
        }
    }

    // 集計
    mint res = 0;
    for (int i = 0; i < H; ++i) {
        for (int j = 0; j < W; ++j) {
            if (fi[i][j] == '#') continue;
            int num = Left[i][j] + Right[i][j] + Up[i][j] + Down[i][j] - 3;
            res += modpow(mint(2), K) - modpow(mint(2), K - num);
        }
    }
    cout << res << endl;
}