これ面白い!!
問題概要
個の正の整数 と、正の整数 が与えられる。 個の整数の中からいくつか選ぶ方法のうち、以下の条件を満たすものの個数を 1000000007 で割ったあまりを求めよ。
- 選んだ数の総和は 以下である
- 選んだ数の総和に、選んでいなかった任意の数を足すと 以上となる
制約
考えたこと
整数のいくつかの総和が だったり 以下だったりするのを考えるような問題は、かなりの確率で DP。
まず、「選んでいなかった任意の数を足すと 以上」という条件は、「選んでいなかった整数のうちの最小値を足すと 以上」という条件に置き換わる。
よって、整数を小さい順に並べたとき、「初めて選ばない整数」がどれなのかで場合分けすると良さそう。
- i 番目に小さい整数を初めて選ばないとしたとき
- 最初の i 個の品物は選ぶので合算した値を S として、
- i + 1 番目以降の整数から、総和が W - S - A[ i ] より大きく W - S 以下となるように選ぶ方法を数え上げる
という風にすれば OK。実装上は、
- 小さい順に i 個の総和
- 大きい順に i 個についての部分和数え上げ
を前処理しておけば、上に述べた処理を高速に実現できる。計算量は全体で となる。
コード
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; // modint template<int MOD> struct Fp { long long val; constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) { if (val < 0) val += MOD; } constexpr int getmod() const { return MOD; } constexpr Fp operator - () const noexcept { return val ? MOD - val : 0; } constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; } constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; } constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; } constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; } constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept { val += r.val; if (val >= MOD) val -= MOD; return *this; } constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept { val -= r.val; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept { val = val * r.val % MOD; return *this; } constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept { long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0; while (b) { long long t = a / b; a -= t * b, swap(a, b); u -= t * v, swap(u, v); } val = val * u % MOD; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept { return this->val == r.val; } constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept { return this->val != r.val; } friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept { is >> x.val; x.val %= MOD; if (x.val < 0) x.val += MOD; return is; } friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept { return os << x.val; } friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept { if (n == 0) return 1; if (n < 0) return modpow(modinv(r), -n); auto t = modpow(r, n / 2); t = t * t; if (n & 1) t = t * r; return t; } friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept { long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0; while (b) { long long t = a / b; a -= t * b, swap(a, b); u -= t * v, swap(u, v); } return Fp<MOD>(u); } }; const int MOD = 1000000007; using mint = Fp<MOD>; int main() { int N, W; cin >> N >> W; vector<int> A(N); for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> A[i]; sort(A.begin(), A.end()); vector<vector<mint>> dp(N+1, vector<mint>(W+1, 0)); dp[0][0] = 1; for (int i = 0; i < N; ++i) { int a = A[N-i-1]; for (int w = 0; w <= W; ++w) { dp[i+1][w] += dp[i][w]; if (w+a <= W) dp[i+1][w+a] += dp[i][w]; } } mint res = 0; int S = 0; for (int i = 0; i < N; ++i) { mint tmp = 0; for (int w = max(0, W - S - A[i] + 1); w <= W - S; ++w) { tmp += dp[N-i-1][w]; } res += tmp; S += A[i]; } if (S <= W) res += 1; cout << res << endl; }