けんちょんの競プロ精進記録

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AOJ 2333 僕の友達は小さい (JAG 夏合宿 2010 day2-D) (500 点)

これ面白い!!

問題概要

 N 個の正の整数  A_{1}, \dots, A_{N} と、正の整数  W が与えられる。 N 個の整数の中からいくつか選ぶ方法のうち、以下の条件を満たすものの個数を 1000000007 で割ったあまりを求めよ。

  • 選んだ数の総和は  W 以下である
  • 選んだ数の総和に、選んでいなかった任意の数を足すと  W 以上となる

制約

  •  1 \le N \le 200
  •  1 \le W \le 10^{4}

考えたこと

整数のいくつかの総和が  W だったり  W 以下だったりするのを考えるような問題は、かなりの確率で DP。

まず、「選んでいなかった任意の数を足すと  W 以上」という条件は、「選んでいなかった整数のうちの最小値を足すと  W 以上」という条件に置き換わる。

よって、整数を小さい順に並べたとき、「初めて選ばない整数」がどれなのかで場合分けすると良さそう。


  • i 番目に小さい整数を初めて選ばないとしたとき
  • 最初の i 個の品物は選ぶので合算した値を S として、
  • i + 1 番目以降の整数から、総和が W - S - A[ i ] より大きく W - S 以下となるように選ぶ方法を数え上げる

という風にすれば OK。実装上は、

  • 小さい順に i 個の総和
  • 大きい順に i 個についての部分和数え上げ

を前処理しておけば、上に述べた処理を高速に実現できる。計算量は全体で  O(NW) となる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() const { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        if (n < 0) return modpow(modinv(r), -n);
        auto t = modpow(r, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * r;
        return t;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        return Fp<MOD>(u);
    }
};

const int MOD = 1000000007;
using mint = Fp<MOD>;

int main() {
    int N, W;
    cin >> N >> W;
    vector<int> A(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> A[i];

    sort(A.begin(), A.end());
    vector<vector<mint>> dp(N+1, vector<mint>(W+1, 0));
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        int a = A[N-i-1];
        for (int w = 0; w <= W; ++w) {
            dp[i+1][w] += dp[i][w];
            if (w+a <= W) dp[i+1][w+a] += dp[i][w];
        }
    }
    mint res = 0;
    int S = 0;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        mint tmp = 0;
        for (int w = max(0, W - S - A[i] + 1); w <= W - S; ++w) {
            tmp += dp[N-i-1][w];
        }
        res += tmp;
        S += A[i];
    }
    if (S <= W) res += 1;
    cout << res << endl;
}