問題概要

$N$ 頂点のグラフが与えられる。初期状態では 1 本も辺が張られていない。

このグラフに、頂点 1 を始点とする長さ $M$ のウォークをとり、ウォークに沿って有向辺を張っていく。有向辺の張られたグラフ (多重辺も自己ループも可) が強連結であるようなウォークが何通りあるか、1000000007 で割ったあまりを求めよ。

制約

$N, M \le 300$

考えたこと

「最終的に出来上がるグラフが何通りあるか」ではなく、操作の順序も加味した数え上げになっている！その方が数えやすいみたいなところはある。

まずはどのようなウォークが条件を満たすのかを上手に数え上げよう。まず、一度はかならず頂点 1 に戻ってこなければならない。そして頂点 1 に最初に戻ってきた時点で訪れた頂点はすべて、頂点 1 と強連結になる。

でも、一度頂点 1 に戻ってきたら、次はかならずしも頂点 1 に戻る必要はない。「頂点 1, v1, v2, ..., vk が強連結」という状況であれば、v1, v2, .., vk のいずれかに戻ってこれれば、途中経路もすべて強連結になる。よって、次のような DP でできそう。

dp[ m ][ s ][ w ] := m 回遷移して、頂点 1 と強連結な頂点が s 個、訪問済みだが頂点 1 と強連結でない頂点が w 個あるような状態になるまでの場合の数

このとき、次のように遷移を作れる。

dp[ m + 1 ][ s + w ][ 0 ] += dp[ m ][ s ][ w ] × s　(頂点 1 と強連結な頂点へ移動)
dp[ m + 1 ][ s ][ w ] += dp[ m ][ s ][ w ] × w　(頂点 1 と強連結でない、すでに訪れた頂点のいずれかへ移動)
dp[ m + 1 ][ s ][ w + 1 ] += dp[ m ][ s ][ w ] × (N - s - w)　(まだ行ったことのない頂点へ移動)

驚くことに、「今までどの頂点集合を訪れたか」という情報どころか、「今いる頂点がどこなのか」「今いる頂点が頂点 1 と強連結なのかどうか」という情報さえ要らない！！！！！

計算量は $O(MN^{2})$ 。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() const { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        if (n < 0) return modpow(modinv(r), -n);
        auto t = modpow(r, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * r;
        return t;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        return Fp<MOD>(u);
    }
};

const int MOD = 1000000007;
using mint = Fp<MOD>;

mint solve(int N, int M) {
    vector<vector<mint>> dp(N+1, vector<mint>(N+1, 0)), ndp = dp;
    dp[1][0] = 1;
    for (int _ = 0; _ < M; ++_) {
        ndp.assign(N+1, vector<mint>(N+1, 0));
        for (int s = 0; s <= N; ++s) {
            for (int w = 0; s + w <= N; ++w) {
                if (dp[s][w] == 0) continue;
                ndp[s+w][0] += dp[s][w] * s;
                ndp[s][w] += dp[s][w] * w;
                if (w+1 <= N) ndp[s][w+1] += dp[s][w] * (N - s-w);
            }
        }
        swap(dp, ndp);
    }
    return dp[N][0];
}

int main() {
    int N, M;
    while (cin >> N >> M) cout << solve(N, M) << endl;
}

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