面白かった!!!DEGwer さんの pdf より。
問題概要
頂点のグラフが与えられる。初期状態では 1 本も辺が張られていない。
このグラフに、頂点 1 を始点とする長さ のウォークをとり、ウォークに沿って有向辺を張っていく。有向辺の張られたグラフ (多重辺も自己ループも可) が強連結であるようなウォークが何通りあるか、1000000007 で割ったあまりを求めよ。
制約
考えたこと
「最終的に出来上がるグラフが何通りあるか」ではなく、操作の順序も加味した数え上げになっている!その方が数えやすいみたいなところはある。
まずはどのようなウォークが条件を満たすのかを上手に数え上げよう。まず、一度はかならず頂点 1 に戻ってこなければならない。そして頂点 1 に最初に戻ってきた時点で訪れた頂点はすべて、頂点 1 と強連結になる。
でも、一度頂点 1 に戻ってきたら、次はかならずしも頂点 1 に戻る必要はない。「頂点 1, v1, v2, ..., vk が強連結」という状況であれば、v1, v2, .., vk のいずれかに戻ってこれれば、途中経路もすべて強連結になる。よって、次のような DP でできそう。
- dp[ m ][ s ][ w ] := m 回遷移して、頂点 1 と強連結な頂点が s 個、訪問済みだが頂点 1 と強連結でない頂点が w 個あるような状態になるまでの場合の数
このとき、次のように遷移を作れる。
- dp[ m + 1 ][ s + w ][ 0 ] += dp[ m ][ s ][ w ] × s (頂点 1 と強連結な頂点へ移動)
- dp[ m + 1 ][ s ][ w ] += dp[ m ][ s ][ w ] × w (頂点 1 と強連結でない、すでに訪れた頂点のいずれかへ移動)
- dp[ m + 1 ][ s ][ w + 1 ] += dp[ m ][ s ][ w ] × (N - s - w) (まだ行ったことのない頂点へ移動)
驚くことに、「今までどの頂点集合を訪れたか」という情報どころか、「今いる頂点がどこなのか」「今いる頂点が頂点 1 と強連結なのかどうか」という情報さえ要らない!!!!!
計算量は 。
コード
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; // modint template<int MOD> struct Fp { long long val; constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) { if (val < 0) val += MOD; } constexpr int getmod() const { return MOD; } constexpr Fp operator - () const noexcept { return val ? MOD - val : 0; } constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; } constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; } constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; } constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; } constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept { val += r.val; if (val >= MOD) val -= MOD; return *this; } constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept { val -= r.val; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept { val = val * r.val % MOD; return *this; } constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept { long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0; while (b) { long long t = a / b; a -= t * b, swap(a, b); u -= t * v, swap(u, v); } val = val * u % MOD; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept { return this->val == r.val; } constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept { return this->val != r.val; } friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept { is >> x.val; x.val %= MOD; if (x.val < 0) x.val += MOD; return is; } friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept { return os << x.val; } friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept { if (n == 0) return 1; if (n < 0) return modpow(modinv(r), -n); auto t = modpow(r, n / 2); t = t * t; if (n & 1) t = t * r; return t; } friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept { long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0; while (b) { long long t = a / b; a -= t * b, swap(a, b); u -= t * v, swap(u, v); } return Fp<MOD>(u); } }; const int MOD = 1000000007; using mint = Fp<MOD>; mint solve(int N, int M) { vector<vector<mint>> dp(N+1, vector<mint>(N+1, 0)), ndp = dp; dp[1][0] = 1; for (int _ = 0; _ < M; ++_) { ndp.assign(N+1, vector<mint>(N+1, 0)); for (int s = 0; s <= N; ++s) { for (int w = 0; s + w <= N; ++w) { if (dp[s][w] == 0) continue; ndp[s+w][0] += dp[s][w] * s; ndp[s][w] += dp[s][w] * w; if (w+1 <= N) ndp[s][w+1] += dp[s][w] * (N - s-w); } } swap(dp, ndp); } return dp[N][0]; } int main() { int N, M; while (cin >> N >> M) cout << solve(N, M) << endl; }