2020-12-25

AtCoder ABC 134 F - Permutation Oddness (橙色, 600 点)

この問題、実は、北大合宿 HUPC の有志コン枠で原案として挙げていた問題とまったく同じだった！！！！！！

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問題へのリンク

問題概要

$1, 2, \dots, N$ の順列 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{N}$ の奇妙さを

$\sum_{i = 1}^{N} |i - P_{i}|$

と定義する。奇妙さが $K$ であるような順列の個数を 1000000007 で割ったあまりを求めよ。

制約

$1 \le N \le 50$
$0 \le K \le N^{2}$

考えたこと

順列の数え上げ問題において、時として箱根駅伝 DP と呼ばれる解法が有効なことがある。この問題もまさに箱根駅伝 DP がぴったりである。箱根駅伝 DP では、まず「順列」を「 $N$ 要素同士のマッチング」とみなすことにする。このとき、「奇妙さ」は下図のように解釈できる。

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そして箱根駅伝 DP では、下図のように

dp[i][j] ← $(1, 2, \dots, i)$ と $(1, 2, \dots, i)$ の間のマッチングを考える。ここでマッチングされた辺の本数が $j (\le i)$ であるような場合についての、何か

という DP を組む。そして $i$ から $i+1$ へと遷移するとき、左頂点 $i+1$ について以下のパターンに分けて考える (右頂点 $i+1$ についても同様)。

左頂点 $i+1$ を右頂点 $1, 2, \dots, i$ のいずれかとマッチングさせる
左頂点 $i+1$ を右頂点 $i+1$ とマッチングさせる
左頂点 $i+1$ を右頂点 $1, 2, \dots, i+1$ のいずれともマッチングさせない (保留する)

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今回もこのような DP で解くことができる。

dp[i][j][k] ← $(1, 2, \dots, i)$ と $(1, 2, \dots, i)$ の間のマッチングを考える。マッチングされた辺の本数は $j$ 本であるとする。その時点で奇妙さが $k$ であるような場合の数

ここで注意したいことは、奇妙さを上図のように「横切る線の本数」と捉えていることだ。したがって、マッチングが確定せずに保留となっている頂点についても、そのマッチング辺が下に伸び続けているので、その過程で横切っている分については「奇妙さ」へと加算していくことにする。上記の設定では、 $i$ から $i+1$ へと遷移するときに、その過程で横切る辺の本数は $2(j-i)$ 本となる。これが奇妙さに加算されることとなる。

遷移は、具体的には、次のように詰めることができる。

dp[i+1][j+2][k+2(j-i)] += dp[i][j][k] * (i-j) * (i-j) (左頂点 $i+1$ と右頂点 $i+1$ がともに、他方の $1, 2, \dots, i$ のいずれかとマッチされる)
dp[i+1][j+1][k+2(j-i)] += dp[i][j][k] * (i-j) * 2 (左頂点 $i+1$ と右頂点 $i+1$ のうちの片方が、他方の $1, 2, \dots, i$ のいずれかとマッチされる)
dp[i+1][j+1][k+2(j-i)] += dp[i][j][k] (左頂点 $i+1$ と右頂点 $i+1$ とが互いにマッチされる)
dp[i+1][j][k+2(j-i)] += dp[i][j][k] (左頂点 $i+1$ と右頂点 $i+1$ がともに保留される)

計算量は $O(N^{4})$ となる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() const { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        if (n < 0) return modpow(modinv(r), -n);
        auto t = modpow(r, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * r;
        return t;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        return Fp<MOD>(u);
    }
};

const int MOD = 1000000007;
using mint = Fp<MOD>;

mint dp[55][55][3000];
int main() {
    int N, K;
    cin >> N >> K;
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[0][0][0] = 1;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        for (int j = 0; j <= i; ++j) {
            for (int k = 0; k <= i * i; ++k) {
                int nk = k + (i-j) * 2;
                dp[i+1][j+2][nk] += dp[i][j][k] * (i-j) * (i-j);
                dp[i+1][j+1][nk] += dp[i][j][k] * ((i-j) * 2 + 1);
                dp[i+1][j][nk] += dp[i][j][k];
            }
        }
    }
    cout << dp[N][N][K] << endl;
}

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