めちゃ好きだけど、実装重い
問題概要
頂点の重み付き無向完全グラフが与えられる。各 に対して、
- 頂点集合を 個の互いに disjoint な集合に分割する方法であって
- どの同族辺 (両端点が同一のグループに属する辺) の重みも、どの異族辺 (両端点が異なるグループに属する辺) の重みより小さい
というものの個数を 998244353 で割ったあまりを求めよ。
制約
考えたこと
一見すると bit DP とかが必要になるように見える問題。でもこういうのはなんらかの探索順序が綺麗に入るはず。たとえばあらかじめソートすることができて、その順序に区間ごとに区切ればいいとか...
今回はそこまで単純ではないが、まずは
- 最小全域木を考えたときに
- 各グループはその部分木になることが必要
ということがいえる。最小全域木 を作ったときに、仮に 上で互いに隣接していない頂点部分集合 があって条件を満たしたとする。このとき、 上の点 と 上の点 とを結ぶパス を考える。このとき問題の条件から「 ( はパス 上の任意の辺)」を満たす必要がある。しかしこれは が最小全域木であることに反する (最小全域木の最適性条件から)。
さらに、各グループが最小全域木の任意の部分木でよいわけではなく、Kruskal 法における Union-Find のマージ過程を考えたときに、その部分木の部分が一時的に「クリーク」になっている必要がある。
実装上は、Union-Find のマージ過程を表す木を作るときに、「マージという行為」に対応するノードを追加していくと良さそう。つまり、マージ過程が 回走るので、 個の頂点の木を構築していく。
木 DP へ
以上より問題は「木を 個に分割する方法であって、各グループが部分木となるもの」を数え上げる問題へと帰着された。適当に根を決めて木 DP する。
- dp[ v ][ k ] := 頂点 v を根とする部分木において、頂点 v に対応するクリークを 個に分割する方法の個数
とする。k の部分の更新も考えると一見 の計算量になりそうだが、「二乗の木 DP」によって になる (NTT で畳み込む方法もあり)。
コード
#include <bits/stdc++.h> #include <sys/time.h> using namespace std; struct UnionFind { vector<int> par; vector<int> alt, num; UnionFind(int n) : par(n, -1), alt(n, -1), num(n, 0) { for (int i = 0; i < n; ++i) alt[i] = i; } int root(int x) { if (par[x] < 0) return x; else return par[x] = root(par[x]); } bool issame(int x, int y) { return root(x) == root(y); } bool merge(int x, int y, int id = -1) { x = root(x); y = root(y); if (x == y) { num[x]++; return false; } if (par[x] > par[y]) swap(x, y); // merge technique num[x] += num[y] + 1; par[x] += par[y]; par[y] = x; if (id != -1) alt[x] = id; return true; } int size(int x) { return -par[root(x)]; } int id(int x) { return alt[root(x)]; } bool iscl(int x) { x = root(x); int s = size(x); return num[x] == s * (s-1) / 2; } }; // modint template<int MOD> struct Fp { long long val; constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) { if (val < 0) val += MOD; } constexpr int getmod() const { return MOD; } constexpr Fp operator - () const noexcept { return val ? MOD - val : 0; } constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; } constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; } constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; } constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; } constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept { val += r.val; if (val >= MOD) val -= MOD; return *this; } constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept { val -= r.val; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept { val = val * r.val % MOD; return *this; } constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept { long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0; while (b) { long long t = a / b; a -= t * b, swap(a, b); u -= t * v, swap(u, v); } val = val * u % MOD; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept { return this->val == r.val; } constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept { return this->val != r.val; } constexpr bool operator < (const Fp& r) const noexcept { return this->val < r.val; } friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD>& x) noexcept { is >> x.val; x.val %= MOD; if (x.val < 0) x.val += MOD; return is; } friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD>& x) noexcept { return os << x.val; } friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &a, long long n) noexcept { if (n == 0) return 1; auto t = modpow(a, n / 2); t = t * t; if (n & 1) t = t * a; return t; } }; const int MOD = 998244353; using mint = Fp<MOD>; using pint = pair<int,int>; using Edge = pair<long long,pint>; using Tree = vector<vector<int>>; vector<vector<mint>> dp; void rec(const Tree &G, const vector<bool> &ok, int v) { if (G[v].empty()) { dp[v] = {0, 1}; return; } for (auto c : G[v]) rec(G, ok, c); vector<mint> dp2(1, 1), ndp2; for (auto c : G[v]) { ndp2.assign(dp2.size() + dp[c].size(), 0); for (int i = 0; i < dp2.size(); ++i) for (int j = 0; j < dp[c].size(); ++j) ndp2[i+j] += dp2[i] * dp[c][j]; while (ndp2.back() == 0) ndp2.pop_back(); swap(dp2, ndp2); } if (ok[v]) dp2[1] += 1; dp[v] = dp2; } void solve() { // build tree int N; cin >> N; vector<Edge> edges; for (int i = 0; i < N; ++i) for (int j = 0; j < N; ++j) { long long a; cin >> a; if (i >= j) continue; edges.push_back(Edge(a, pint(i, j))); } sort(edges.begin(), edges.end()); Tree G(N*2 - 1); int iter = N; UnionFind uf(N); vector<bool> ok(N*2-1); for (int v = 0; v < N; ++v) ok[v] = true; for (auto e : edges) { int u = e.second.first, v = e.second.second; if (uf.issame(u, v)) uf.merge(u, v); else { G[iter].push_back(uf.id(u)), G[iter].push_back(uf.id(v)); uf.merge(u, v, iter); ++iter; } u = uf.root(u); if (uf.iscl(u)) ok[uf.id(u)] = true; } // DP dp.assign(iter, vector<mint>()); rec(G, ok, iter-1); for (int k = 1; k <= N; ++k) { if (k > 1) cout << " "; cout << dp[iter-1][k]; } cout << endl; } int main() { cin.tie(0); ios::sync_with_stdio(false); solve(); }