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F
(cnt,sum) という組と定数加算作用が遅延セグ木にのるというのはよく知られていると思いますが、これは要素に対する (0乗和, 1乗和) と解釈できて、組 (0,1,...,k 乗和) などに一般化できます。
今回は要素 (x,y) に対する x^iy^j (0 <= i,j <= 1) を持つという類似。
— maspy (@maspy_stars) 2024年6月8日

問題へのリンク

問題概要

2 つのサイズ $N$ の整数数列 $A_{1}, \dots, A_{N}$ と $B_{1}, \dots, B_{N}$ が与えられる。次の $Q$ 回のクエリに答えよ。

クエリタイプ 1 (1 l r x)：数列 $A$ の区間 $\lbrack l, r \rbrack$ の各要素に $x$ を加算する
クエリタイプ 2 (2 l r x)：数列 $B$ の区間 $\lbrack l, r \rbrack$ の各要素に $x$ を加算する
クエリタイプ 3 (3 l r)： $\displaystyle \sum_{i = l}^{r} A_{i} \times B_{i}$ を 998244353 で割った余りを答えよ

制約

$1 \le N, Q \le 2 \times 10^{5}$

解法 (1)：遅延評価セグメント木

以下の 4 つの値 (いずれも 998244353 で割った余りで) を各ノードに持たせた遅延評価セグメント木を考えよう。なお、そのノードは区間 $\lbrack l, r)$ に対応するとする。

区間長： $r - l$
数列 $A$ のその区間の総和： $\sum_{i=l}^{r-1} A_{i}$
数列 $B$ のその区間の総和： $\sum_{i=l}^{r-1} B_{i}$
数列 $A, B$ の積についての、その区間の総和： $\sum_{i=l}^{r-1} A_{i}B_{i}$

また、この遅延評価セグメント木への作用を次のように定義する

数列 $A$ 側に加算する値 $x$
数列 $B$ 側に加算する値 $y$

このとき、「モノイド同士の演算」「モノイドへの作用」「作用の合成」は次のように定義できる。

// (Σ1, ΣA, ΣB, ΣAB)
struct Monoid {
    mint con, a, b, ab;
    Monoid(){}
    Monoid(mint c, mint a, mint b, mint ab) : con(c), a(a), b(b), ab(ab) {}
};
using Action = pair<mint, mint>;

// 各種関数
auto op = [](Monoid x, Monoid y) -> Monoid {
    return Monoid(x.con + y.con, x.a + y.a, x.b + y.b, x.ab + y.ab);
};
auto act = [](Action f, Monoid x) -> Monoid {
    return Monoid(x.con, x.a + f.first * x.con, x.b + f.second * x.con
                  , x.ab + f.first * x.b + f.second * x.a
                  + f.first * f.second * x.con);
};
auto comp = [](Action g, Action f) -> Action {
    return Action(g.first + f.first, g.second + f.second);
};

これが遅延評価セグメント木の条件を満たすことは確かめられる。つまり、モノイド $x, y$ と作用 $f$ に対して、

$f(\mathrm{op}(x, y)) = \mathrm{op}(f(x), f(y))$

が成り立つことが確かめられる。

この遅延評価セグメント木を用いて各クエリに答えられる。計算量は $O(N + Q \log N)$ となる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    // inner value
    long long val;
    
    // constructor
    constexpr Fp() : val(0) { }
    constexpr Fp(long long v) : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr long long get() const { return val; }
    constexpr int get_mod() const { return MOD; }
    
    // arithmetic operators
    constexpr Fp operator + () const { return Fp(*this); }
    constexpr Fp operator - () const { return Fp(0) - Fp(*this); }
    constexpr Fp operator + (const Fp &r) const { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp &r) const { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp &r) const { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp &r) const { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp &r) {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp &r) {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp &r) {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp &r) {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp pow(long long n) const {
        Fp res(1), mul(*this);
        while (n > 0) {
            if (n & 1) res *= mul;
            mul *= mul;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    constexpr Fp inv() const {
        Fp res(1), div(*this);
        return res / div;
    }

    // other operators
    constexpr bool operator == (const Fp &r) const {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp &r) const {
        return this->val != r.val;
    }
    constexpr Fp& operator ++ () {
        ++val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -- () {
        if (val == 0) val += MOD;
        --val;
        return *this;
    }
    constexpr Fp operator ++ (int) const {
        Fp res = *this;
        ++*this;
        return res;
    }
    constexpr Fp operator -- (int) const {
        Fp res = *this;
        --*this;
        return res;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD> &x) {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD> &x) {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> pow(const Fp<MOD> &r, long long n) {
        return r.pow(n);
    }
    friend constexpr Fp<MOD> inv(const Fp<MOD> &r) {
        return r.inv();
    }
};

// Lazy Segment Tree
template<class Monoid, class Action> struct LazySegmentTree {
    // various function types
    using FuncMonoid = function<Monoid(Monoid, Monoid)>;
    using FuncAction = function<Monoid(Action, Monoid)>;
    using FuncComposition = function<Action(Action, Action)>;

    // core member
    int N;
    FuncMonoid OP;
    FuncAction ACT;
    FuncComposition COMP;
    Monoid IDENTITY_MONOID;
    Action IDENTITY_ACTION;
    
    // inner data
    int log, offset;
    vector<Monoid> dat;
    vector<Action> lazy;
    
    // constructor
    LazySegmentTree() {}
    LazySegmentTree(int n, const FuncMonoid op, const FuncAction act, const FuncComposition comp,
                    const Monoid &identity_monoid, const Action &identity_action) {
        init(n, op, act, comp, identity_monoid, identity_action);
    }
    LazySegmentTree(const vector<Monoid> &v,
                    const FuncMonoid op, const FuncAction act, const FuncComposition comp,
                    const Monoid &identity_monoid, const Action &identity_action) {
        init(v, op, act, comp, identity_monoid, identity_action);
    }
    void init(int n, const FuncMonoid op, const FuncAction act, const FuncComposition comp,
              const Monoid &identity_monoid, const Action &identity_action) {
        N = n, OP = op, ACT = act, COMP = comp;
        IDENTITY_MONOID = identity_monoid, IDENTITY_ACTION = identity_action;
        log = 0, offset = 1;
        while (offset < N) ++log, offset <<= 1;
        dat.assign(offset * 2, IDENTITY_MONOID);
        lazy.assign(offset * 2, IDENTITY_ACTION);
    }
    void init(const vector<Monoid> &v,
              const FuncMonoid op, const FuncAction act, const FuncComposition comp,
              const Monoid &identity_monoid, const Action &identity_action) {
        init((int)v.size(), op, act, comp, identity_monoid, identity_action);
        build(v);
    }
    void build(const vector<Monoid> &v) {
        assert(N == (int)v.size());
        for (int i = 0; i < N; ++i) dat[i + offset] = v[i];
        for (int k = offset - 1; k > 0; --k) pull_dat(k);
    }
    int size() const {
        return N;
    }
    
    // basic functions for lazy segment tree
    void pull_dat(int k) {
        dat[k] = OP(dat[k * 2], dat[k * 2 + 1]);
    }
    void apply_lazy(int k, const Action &f) {
        dat[k] = ACT(f, dat[k]);
        if (k < offset) lazy[k] = COMP(f, lazy[k]);
    }
    void push_lazy(int k) {
        apply_lazy(k * 2, lazy[k]);
        apply_lazy(k * 2 + 1, lazy[k]);
        lazy[k] = IDENTITY_ACTION;
    }
    void pull_dat_deep(int k) {
        for (int h = 1; h <= log; ++h) pull_dat(k >> h);
    }
    void push_lazy_deep(int k) {
        for (int h = log; h >= 1; --h) push_lazy(k >> h);
    }
    
    // setter and getter, update A[i], i is 0-indexed, O(log N)
    void set(int i, const Monoid &v) {
        assert(0 <= i && i < N);
        int k = i + offset;
        push_lazy_deep(k);
        dat[k] = v;
        pull_dat_deep(k);
    }
    Monoid get(int i) {
        assert(0 <= i && i < N);
        int k = i + offset;
        push_lazy_deep(k);
        return dat[k];
    }
    Monoid operator [] (int i) {
        return get(i);
    }
    
    // apply f for index i
    void apply(int i, const Action &f) {
        assert(0 <= i && i < N);
        int k = i + offset;
        push_lazy_deep(k);
        dat[k] = ACT(f, dat[k]);
        pull_dat_deep(k);
    }
    // apply f for interval [l, r)
    void apply(int l, int r, const Action &f) {
        assert(0 <= l && l <= r && r <= N);
        if (l == r) return;
        l += offset, r += offset;
        for (int h = log; h >= 1; --h) {
            if (((l >> h) << h) != l) push_lazy(l >> h);
            if (((r >> h) << h) != r) push_lazy((r - 1) >> h);
        }
        int original_l = l, original_r = r;
        for (; l < r; l >>= 1, r >>= 1) {
            if (l & 1) apply_lazy(l++, f);
            if (r & 1) apply_lazy(--r, f);
        }
        l = original_l, r = original_r;
        for (int h = 1; h <= log; ++h) {
            if (((l >> h) << h) != l) pull_dat(l >> h);
            if (((r >> h) << h) != r) pull_dat((r - 1) >> h);
        }
    }
    
    // get prod of interval [l, r)
    Monoid prod(int l, int r) {
        assert(0 <= l && l <= r && r <= N);
        if (l == r) return IDENTITY_MONOID;
        l += offset, r += offset;
        for (int h = log; h >= 1; --h) {
            if (((l >> h) << h) != l) push_lazy(l >> h);
            if (((r >> h) << h) != r) push_lazy(r >> h);
        }
        Monoid val_left = IDENTITY_MONOID, val_right = IDENTITY_MONOID;
        for (; l < r; l >>= 1, r >>= 1) {
            if (l & 1) val_left = OP(val_left, dat[l++]);
            if (r & 1) val_right = OP(dat[--r], val_right);
        }
        return OP(val_left, val_right);
    }
    Monoid all_prod() {
        return dat[1];
    }
    
    // get max r that f(get(l, r)) = True (0-indexed), O(log N)
    // f(IDENTITY) need to be True
    int max_right(const function<bool(Monoid)> f, int l = 0) {
        if (l == N) return N;
        l += offset;
        push_lazy_deep(l);
        Monoid sum = IDENTITY_MONOID;
        do {
            while (l % 2 == 0) l >>= 1;
            if (!f(OP(sum, dat[l]))) {
                while (l < offset) {
                    push_lazy(l);
                    l = l * 2;
                    if (f(OP(sum, dat[l]))) {
                        sum = OP(sum, dat[l]);
                        ++l;
                    }
                }
                return l - offset;
            }
            sum = OP(sum, dat[l]);
            ++l;
        } while ((l & -l) != l);  // stop if l = 2^e
        return N;
    }

    // get min l that f(get(l, r)) = True (0-indexed), O(log N)
    // f(IDENTITY) need to be True
    int min_left(const function<bool(Monoid)> f, int r = -1) {
        if (r == 0) return 0;
        if (r == -1) r = N;
        r += offset;
        push_lazy_deep(r - 1);
        Monoid sum = IDENTITY_MONOID;
        do {
            --r;
            while (r > 1 && (r % 2)) r >>= 1;
            if (!f(OP(dat[r], sum))) {
                while (r < offset) {
                    push_lazy(r);
                    r = r * 2 + 1;
                    if (f(OP(dat[r], sum))) {
                        sum = OP(dat[r], sum);
                        --r;
                    }
                }
                return r + 1 - offset;
            }
            sum = OP(dat[r], sum);
        } while ((r & -r) != r);
        return 0;
    }
    
    // debug stream
    friend ostream& operator << (ostream &s, LazySegmentTree seg) {
        for (int i = 0; i < (int)seg.size(); ++i) {
            s << seg[i];
            if (i != (int)seg.size() - 1) s << " ";
        }
        return s;
    }
    
    // dump
    void dump() {
        for (int i = 0; i <= log; ++i) {
            for (int j = (1 << i); j < (1 << (i + 1)); ++j) {
                cout << "{" << dat[j] << "," << lazy[j] << "} ";
            }
            cout << endl;
        }
    }
};

const int MOD = 998244353;
using mint = Fp<MOD>;

// (Σ1, ΣA, ΣB, ΣAB)
struct Monoid {
    mint con, a, b, ab;
    Monoid(){}
    Monoid(mint c, mint a, mint b, mint ab) : con(c), a(a), b(b), ab(ab) {}
};
using Action = pair<mint, mint>;

auto op = [](Monoid x, Monoid y) -> Monoid {
    return Monoid(x.con + y.con, x.a + y.a, x.b + y.b, x.ab + y.ab);
};
auto act = [](Action f, Monoid x) -> Monoid {
    return Monoid(x.con, x.a + f.first * x.con, x.b + f.second * x.con
                  , x.ab + f.first * x.b + f.second * x.a
                  + f.first * f.second * x.con);
};
auto comp = [](Action g, Action f) -> Action {
    return Action(g.first + f.first, g.second + f.second);
};
const Monoid id_monoid(0, 0, 0, 0);
const Action id_action(mint(0), mint(0));
    

int main() {
    int N, Q;
    cin >> N >> Q;
    vector<long long> A(N), B(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> A[i];
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> B[i];
    
    LazySegmentTree<Monoid, Action> seg(N, op, act, comp, id_monoid, id_action);
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        seg.set(i, Monoid(1, A[i], B[i], A[i] * B[i]));
    }
    while (Q--) {
        int type, l, r;
        mint x;
        cin >> type >> l >> r;
        --l;
        
        if (type == 1) {
            cin >> x;
            seg.apply(l, r, Action(x, 0));
        } else if (type == 2) {
            cin >> x;
            seg.apply(l, r, Action(0, x));
        } else {
            auto res = seg.prod(l, r);
            cout << res.ab << endl;
        }
    }
}

解法 (2)：平方分割

平方分割で解くこともできた。この場合は、セグメント木は使わず、平方分割の各ブロックごとに次の値を持たせた。

sa[i]：ブロック $i$ 内部の数列 $A$ の要素の総和
sb[i]：ブロック $i$ 内部の数列 $B$ の要素の総和
sab[i]：ブロック $i$ 内部の数列 $A$ の要素と数列 $B$ の要素の積の総和
addA[i]：ブロック $i$ 内部において、数列 $A$ に加算された値の総和
addB[i]：ブロック $i$ 内部において、数列 $B$ に加算された値の総和

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    // inner value
    long long val;
    
    // constructor
    constexpr Fp() : val(0) { }
    constexpr Fp(long long v) : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr long long get() const { return val; }
    constexpr int get_mod() const { return MOD; }
    
    // arithmetic operators
    constexpr Fp operator + () const { return Fp(*this); }
    constexpr Fp operator - () const { return Fp(0) - Fp(*this); }
    constexpr Fp operator + (const Fp &r) const { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp &r) const { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp &r) const { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp &r) const { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp &r) {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp &r) {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp &r) {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp &r) {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp pow(long long n) const {
        Fp res(1), mul(*this);
        while (n > 0) {
            if (n & 1) res *= mul;
            mul *= mul;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    constexpr Fp inv() const {
        Fp res(1), div(*this);
        return res / div;
    }

    // other operators
    constexpr bool operator == (const Fp &r) const {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp &r) const {
        return this->val != r.val;
    }
    constexpr Fp& operator ++ () {
        ++val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -- () {
        if (val == 0) val += MOD;
        --val;
        return *this;
    }
    constexpr Fp operator ++ (int) const {
        Fp res = *this;
        ++*this;
        return res;
    }
    constexpr Fp operator -- (int) const {
        Fp res = *this;
        --*this;
        return res;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD> &x) {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD> &x) {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> pow(const Fp<MOD> &r, long long n) {
        return r.pow(n);
    }
    friend constexpr Fp<MOD> inv(const Fp<MOD> &r) {
        return r.inv();
    }
};

int main() {
    const int MOD = 998244353;
    using mint = Fp<MOD>;
    int N, Q;
    cin >> N >> Q;
    vector<mint> A(N), B(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> A[i];
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> B[i];
    
    // 平方分割のブロックのサイズとブロックの個数
    const int SIZE = 500;
    int NUM = (N + SIZE - 1) / SIZE;
    vector<mint> sa(NUM, 0), sb(NUM, 0), sab(NUM, 0), addA(NUM, 0), addB(NUM, 0);
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        sa[i / SIZE] += A[i];
        sb[i / SIZE] += B[i];
        sab[i / SIZE] += mint(A[i]) * B[i];
    }
    
    auto add_to_A = [&](int i, long long x) {
        A[i] += x;
        sa[i / SIZE] += x;
        sab[i / SIZE] += B[i] * x;
    };
    auto add_to_B = [&](int i, long long x) {
        B[i] += x;
        sb[i / SIZE] += x;
        sab[i / SIZE] += A[i] * x;
    };
    
    while (Q--) {
        int type, l, r;
        long long x;
        cin >> type >> l >> r;
        --l;
        
        int lq = l / SIZE, lr = l % SIZE;
        int rq = r / SIZE, rr = r % SIZE;
        
        if (type == 1) {
            cin >> x;
            if (lq == rq) {
                for (int i = l; i < r; ++i) add_to_A(i, x);
            } else {
                for (int i = lr; i < SIZE; ++i) add_to_A(lq * SIZE + i, x);
                for (int i = 0; i < rr; ++i) add_to_A(rq * SIZE + i, x);
                for (int i = lq + 1; i < rq; ++i) addA[i] += x;
            }
        } else if (type == 2) {
            cin >> x;
            if (lq == rq) {
                for (int i = l; i < r; ++i) add_to_B(i, x);
            } else {
                for (int i = lr; i < SIZE; ++i) add_to_B(lq * SIZE + i, x);
                for (int i = 0; i < rr; ++i) add_to_B(rq * SIZE + i, x);
                for (int i = lq + 1; i < rq; ++i) addB[i] += x;
            }
        } else {
            mint res = 0;
            if (lq == rq) {
                for (int i = l; i < r; ++i) {
                    res += (A[i] + addA[lq]) * (B[i] + addB[lq]);
                }
            } else {
                for (int i = lr; i < SIZE; ++i) {
                    res += (A[lq * SIZE + i] + addA[lq]) * (B[lq * SIZE + i] + addB[lq]);
                }
                for (int i = 0; i < rr; ++i) {
                    res += (A[rq * SIZE + i] + addA[rq]) * (B[rq * SIZE + i] + addB[rq]);
                }
                for (int i = lq + 1; i < rq; ++i) {
                    res += sab[i] + sa[i] * addB[i] + sb[i] * addA[i] + addA[i] * addB[i] * SIZE;
                }
            }
            cout << res << endl;
        }
    }
}

けんちょんの競プロ精進記録

競プロの精進記録や小ネタを書いていきます

AtCoder ABC 357 F - Two Sequence Queries (2D, 青色, 550 点)

問題概要

制約

解法 (1)：遅延評価セグメント木

コード

解法 (2)：平方分割

コード