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AtCoder ABC 357 F - Two Sequence Queries (2D, 青色, 550 点)

NoviSteps2D AtCoder AtCoder550点 ABC-F 青色diff 【問題集】遅延評価セグメント木 遅延評価 遅延評価セグメント木 セグメント木 クエリ処理問題 データ構造 クエリ:区間更新 操作:区間 操作:加算 積の和に関する問題 取得:総和 数列 中堅以上の典型要素を詰め合わせた教育的問題 取得:区間 平方分割 数学(代数) 式変形

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問題概要

2 つのサイズ N の整数数列 A_{1}, \dots, A_{N} と B_{1}, \dots, B_{N} が与えられる。次の Q 回のクエリに答えよ。

  • クエリタイプ 1 (1 l r x)：数列 A の区間 \lbrack l, r \rbrack の各要素に x を加算する
  • クエリタイプ 2 (2 l r x)：数列 B の区間 \lbrack l, r \rbrack の各要素に x を加算する
  • クエリタイプ 3 (3 l r)： \displaystyle \sum_{i = l}^{r} A_{i} \times B_{i} を 998244353 で割った余りを答えよ

制約

  • 1 \le N, Q \le 2 \times 10^{5}

解法 (1)：遅延評価セグメント木

以下の 4 つの値 (いずれも 998244353 で割った余りで) を各ノードに持たせた遅延評価セグメント木を考えよう。なお、そのノードは区間 \lbrack l, r) に対応するとする。

  • 区間長： r - l
  • 数列 A のその区間の総和： \sum_{i=l}^{r-1} A_{i}
  • 数列 B のその区間の総和： \sum_{i=l}^{r-1} B_{i}
  • 数列 A, B の積についての、その区間の総和： \sum_{i=l}^{r-1} A_{i}B_{i}

また、この遅延評価セグメント木への作用を次のように定義する

  • 数列 A 側に加算する値 x
  • 数列 B 側に加算する値 y

このとき、「モノイド同士の演算」「モノイドへの作用」「作用の合成」は次のように定義できる。

// (Σ1, ΣA, ΣB, ΣAB)
struct Monoid {
    mint con, a, b, ab;
    Monoid(){}
    Monoid(mint c, mint a, mint b, mint ab) : con(c), a(a), b(b), ab(ab) {}
};
using Action = pair<mint, mint>;

// 各種関数
auto op = [](Monoid x, Monoid y) -> Monoid {
    return Monoid(x.con + y.con, x.a + y.a, x.b + y.b, x.ab + y.ab);
};
auto act = [](Action f, Monoid x) -> Monoid {
    return Monoid(x.con, x.a + f.first * x.con, x.b + f.second * x.con
                  , x.ab + f.first * x.b + f.second * x.a
                  + f.first * f.second * x.con);
};
auto comp = [](Action g, Action f) -> Action {
    return Action(g.first + f.first, g.second + f.second);
};

これが遅延評価セグメント木の条件を満たすことは確かめられる。つまり、モノイド x, y と作用 f に対して、

f(\mathrm{op}(x, y)) = \mathrm{op}(f(x), f(y))

が成り立つことが確かめられる。

この遅延評価セグメント木を用いて各クエリに答えられる。計算量は O(N + Q \log N) となる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    // inner value
    long long val;
    
    // constructor
    constexpr Fp() : val(0) { }
    constexpr Fp(long long v) : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr long long get() const { return val; }
    constexpr int get_mod() const { return MOD; }
    
    // arithmetic operators
    constexpr Fp operator + () const { return Fp(*this); }
    constexpr Fp operator - () const { return Fp(0) - Fp(*this); }
    constexpr Fp operator + (const Fp &r) const { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp &r) const { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp &r) const { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp &r) const { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp &r) {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp &r) {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp &r) {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp &r) {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp pow(long long n) const {
        Fp res(1), mul(*this);
        while (n > 0) {
            if (n & 1) res *= mul;
            mul *= mul;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    constexpr Fp inv() const {
        Fp res(1), div(*this);
        return res / div;
    }

    // other operators
    constexpr bool operator == (const Fp &r) const {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp &r) const {
        return this->val != r.val;
    }
    constexpr Fp& operator ++ () {
        ++val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -- () {
        if (val == 0) val += MOD;
        --val;
        return *this;
    }
    constexpr Fp operator ++ (int) const {
        Fp res = *this;
        ++*this;
        return res;
    }
    constexpr Fp operator -- (int) const {
        Fp res = *this;
        --*this;
        return res;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD> &x) {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD> &x) {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> pow(const Fp<MOD> &r, long long n) {
        return r.pow(n);
    }
    friend constexpr Fp<MOD> inv(const Fp<MOD> &r) {
        return r.inv();
    }
};

// Lazy Segment Tree
template<class Monoid, class Action> struct LazySegmentTree {
    // various function types
    using FuncMonoid = function<Monoid(Monoid, Monoid)>;
    using FuncAction = function<Monoid(Action, Monoid)>;
    using FuncComposition = function<Action(Action, Action)>;

    // core member
    int N;
    FuncMonoid OP;
    FuncAction ACT;
    FuncComposition COMP;
    Monoid IDENTITY_MONOID;
    Action IDENTITY_ACTION;
    
    // inner data
    int log, offset;
    vector<Monoid> dat;
    vector<Action> lazy;
    
    // constructor
    LazySegmentTree() {}
    LazySegmentTree(int n, const FuncMonoid op, const FuncAction act, const FuncComposition comp,
                    const Monoid &identity_monoid, const Action &identity_action) {
        init(n, op, act, comp, identity_monoid, identity_action);
    }
    LazySegmentTree(const vector<Monoid> &v,
                    const FuncMonoid op, const FuncAction act, const FuncComposition comp,
                    const Monoid &identity_monoid, const Action &identity_action) {
        init(v, op, act, comp, identity_monoid, identity_action);
    }
    void init(int n, const FuncMonoid op, const FuncAction act, const FuncComposition comp,
              const Monoid &identity_monoid, const Action &identity_action) {
        N = n, OP = op, ACT = act, COMP = comp;
        IDENTITY_MONOID = identity_monoid, IDENTITY_ACTION = identity_action;
        log = 0, offset = 1;
        while (offset < N) ++log, offset <<= 1;
        dat.assign(offset * 2, IDENTITY_MONOID);
        lazy.assign(offset * 2, IDENTITY_ACTION);
    }
    void init(const vector<Monoid> &v,
              const FuncMonoid op, const FuncAction act, const FuncComposition comp,
              const Monoid &identity_monoid, const Action &identity_action) {
        init((int)v.size(), op, act, comp, identity_monoid, identity_action);
        build(v);
    }
    void build(const vector<Monoid> &v) {
        assert(N == (int)v.size());
        for (int i = 0; i < N; ++i) dat[i + offset] = v[i];
        for (int k = offset - 1; k > 0; --k) pull_dat(k);
    }
    int size() const {
        return N;
    }
    
    // basic functions for lazy segment tree
    void pull_dat(int k) {
        dat[k] = OP(dat[k * 2], dat[k * 2 + 1]);
    }
    void apply_lazy(int k, const Action &f) {
        dat[k] = ACT(f, dat[k]);
        if (k < offset) lazy[k] = COMP(f, lazy[k]);
    }
    void push_lazy(int k) {
        apply_lazy(k * 2, lazy[k]);
        apply_lazy(k * 2 + 1, lazy[k]);
        lazy[k] = IDENTITY_ACTION;
    }
    void pull_dat_deep(int k) {
        for (int h = 1; h <= log; ++h) pull_dat(k >> h);
    }
    void push_lazy_deep(int k) {
        for (int h = log; h >= 1; --h) push_lazy(k >> h);
    }
    
    // setter and getter, update A[i], i is 0-indexed, O(log N)
    void set(int i, const Monoid &v) {
        assert(0 <= i && i < N);
        int k = i + offset;
        push_lazy_deep(k);
        dat[k] = v;
        pull_dat_deep(k);
    }
    Monoid get(int i) {
        assert(0 <= i && i < N);
        int k = i + offset;
        push_lazy_deep(k);
        return dat[k];
    }
    Monoid operator [] (int i) {
        return get(i);
    }
    
    // apply f for index i
    void apply(int i, const Action &f) {
        assert(0 <= i && i < N);
        int k = i + offset;
        push_lazy_deep(k);
        dat[k] = ACT(f, dat[k]);
        pull_dat_deep(k);
    }
    // apply f for interval [l, r)
    void apply(int l, int r, const Action &f) {
        assert(0 <= l && l <= r && r <= N);
        if (l == r) return;
        l += offset, r += offset;
        for (int h = log; h >= 1; --h) {
            if (((l >> h) << h) != l) push_lazy(l >> h);
            if (((r >> h) << h) != r) push_lazy((r - 1) >> h);
        }
        int original_l = l, original_r = r;
        for (; l < r; l >>= 1, r >>= 1) {
            if (l & 1) apply_lazy(l++, f);
            if (r & 1) apply_lazy(--r, f);
        }
        l = original_l, r = original_r;
        for (int h = 1; h <= log; ++h) {
            if (((l >> h) << h) != l) pull_dat(l >> h);
            if (((r >> h) << h) != r) pull_dat((r - 1) >> h);
        }
    }
    
    // get prod of interval [l, r)
    Monoid prod(int l, int r) {
        assert(0 <= l && l <= r && r <= N);
        if (l == r) return IDENTITY_MONOID;
        l += offset, r += offset;
        for (int h = log; h >= 1; --h) {
            if (((l >> h) << h) != l) push_lazy(l >> h);
            if (((r >> h) << h) != r) push_lazy(r >> h);
        }
        Monoid val_left = IDENTITY_MONOID, val_right = IDENTITY_MONOID;
        for (; l < r; l >>= 1, r >>= 1) {
            if (l & 1) val_left = OP(val_left, dat[l++]);
            if (r & 1) val_right = OP(dat[--r], val_right);
        }
        return OP(val_left, val_right);
    }
    Monoid all_prod() {
        return dat[1];
    }
    
    // get max r that f(get(l, r)) = True (0-indexed), O(log N)
    // f(IDENTITY) need to be True
    int max_right(const function<bool(Monoid)> f, int l = 0) {
        if (l == N) return N;
        l += offset;
        push_lazy_deep(l);
        Monoid sum = IDENTITY_MONOID;
        do {
            while (l % 2 == 0) l >>= 1;
            if (!f(OP(sum, dat[l]))) {
                while (l < offset) {
                    push_lazy(l);
                    l = l * 2;
                    if (f(OP(sum, dat[l]))) {
                        sum = OP(sum, dat[l]);
                        ++l;
                    }
                }
                return l - offset;
            }
            sum = OP(sum, dat[l]);
            ++l;
        } while ((l & -l) != l);  // stop if l = 2^e
        return N;
    }

    // get min l that f(get(l, r)) = True (0-indexed), O(log N)
    // f(IDENTITY) need to be True
    int min_left(const function<bool(Monoid)> f, int r = -1) {
        if (r == 0) return 0;
        if (r == -1) r = N;
        r += offset;
        push_lazy_deep(r - 1);
        Monoid sum = IDENTITY_MONOID;
        do {
            --r;
            while (r > 1 && (r % 2)) r >>= 1;
            if (!f(OP(dat[r], sum))) {
                while (r < offset) {
                    push_lazy(r);
                    r = r * 2 + 1;
                    if (f(OP(dat[r], sum))) {
                        sum = OP(dat[r], sum);
                        --r;
                    }
                }
                return r + 1 - offset;
            }
            sum = OP(dat[r], sum);
        } while ((r & -r) != r);
        return 0;
    }
    
    // debug stream
    friend ostream& operator << (ostream &s, LazySegmentTree seg) {
        for (int i = 0; i < (int)seg.size(); ++i) {
            s << seg[i];
            if (i != (int)seg.size() - 1) s << " ";
        }
        return s;
    }
    
    // dump
    void dump() {
        for (int i = 0; i <= log; ++i) {
            for (int j = (1 << i); j < (1 << (i + 1)); ++j) {
                cout << "{" << dat[j] << "," << lazy[j] << "} ";
            }
            cout << endl;
        }
    }
};

const int MOD = 998244353;
using mint = Fp<MOD>;

// (Σ1, ΣA, ΣB, ΣAB)
struct Monoid {
    mint con, a, b, ab;
    Monoid(){}
    Monoid(mint c, mint a, mint b, mint ab) : con(c), a(a), b(b), ab(ab) {}
};
using Action = pair<mint, mint>;

auto op = [](Monoid x, Monoid y) -> Monoid {
    return Monoid(x.con + y.con, x.a + y.a, x.b + y.b, x.ab + y.ab);
};
auto act = [](Action f, Monoid x) -> Monoid {
    return Monoid(x.con, x.a + f.first * x.con, x.b + f.second * x.con
                  , x.ab + f.first * x.b + f.second * x.a
                  + f.first * f.second * x.con);
};
auto comp = [](Action g, Action f) -> Action {
    return Action(g.first + f.first, g.second + f.second);
};
const Monoid id_monoid(0, 0, 0, 0);
const Action id_action(mint(0), mint(0));
    

int main() {
    int N, Q;
    cin >> N >> Q;
    vector<long long> A(N), B(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> A[i];
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> B[i];
    
    LazySegmentTree<Monoid, Action> seg(N, op, act, comp, id_monoid, id_action);
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        seg.set(i, Monoid(1, A[i], B[i], A[i] * B[i]));
    }
    while (Q--) {
        int type, l, r;
        mint x;
        cin >> type >> l >> r;
        --l;
        
        if (type == 1) {
            cin >> x;
            seg.apply(l, r, Action(x, 0));
        } else if (type == 2) {
            cin >> x;
            seg.apply(l, r, Action(0, x));
        } else {
            auto res = seg.prod(l, r);
            cout << res.ab << endl;
        }
    }
}

　

解法 (2)：平方分割

平方分割で解くこともできた。この場合は、セグメント木は使わず、平方分割の各ブロックごとに次の値を持たせた。

  • sa[i]：ブロック i 内部の数列 A の要素の総和
  • sb[i]：ブロック i 内部の数列 B の要素の総和
  • sab[i]：ブロック i 内部の数列 A の要素と数列 B の要素の積の総和
  • addA[i]：ブロック i 内部において、数列 A に加算された値の総和
  • addB[i]：ブロック i 内部において、数列 B に加算された値の総和

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    // inner value
    long long val;
    
    // constructor
    constexpr Fp() : val(0) { }
    constexpr Fp(long long v) : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr long long get() const { return val; }
    constexpr int get_mod() const { return MOD; }
    
    // arithmetic operators
    constexpr Fp operator + () const { return Fp(*this); }
    constexpr Fp operator - () const { return Fp(0) - Fp(*this); }
    constexpr Fp operator + (const Fp &r) const { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp &r) const { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp &r) const { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp &r) const { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp &r) {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp &r) {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp &r) {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp &r) {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp pow(long long n) const {
        Fp res(1), mul(*this);
        while (n > 0) {
            if (n & 1) res *= mul;
            mul *= mul;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    constexpr Fp inv() const {
        Fp res(1), div(*this);
        return res / div;
    }

    // other operators
    constexpr bool operator == (const Fp &r) const {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp &r) const {
        return this->val != r.val;
    }
    constexpr Fp& operator ++ () {
        ++val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -- () {
        if (val == 0) val += MOD;
        --val;
        return *this;
    }
    constexpr Fp operator ++ (int) const {
        Fp res = *this;
        ++*this;
        return res;
    }
    constexpr Fp operator -- (int) const {
        Fp res = *this;
        --*this;
        return res;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD> &x) {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD> &x) {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> pow(const Fp<MOD> &r, long long n) {
        return r.pow(n);
    }
    friend constexpr Fp<MOD> inv(const Fp<MOD> &r) {
        return r.inv();
    }
};

int main() {
    const int MOD = 998244353;
    using mint = Fp<MOD>;
    int N, Q;
    cin >> N >> Q;
    vector<mint> A(N), B(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> A[i];
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> B[i];
    
    // 平方分割のブロックのサイズとブロックの個数
    const int SIZE = 500;
    int NUM = (N + SIZE - 1) / SIZE;
    vector<mint> sa(NUM, 0), sb(NUM, 0), sab(NUM, 0), addA(NUM, 0), addB(NUM, 0);
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        sa[i / SIZE] += A[i];
        sb[i / SIZE] += B[i];
        sab[i / SIZE] += mint(A[i]) * B[i];
    }
    
    auto add_to_A = [&](int i, long long x) {
        A[i] += x;
        sa[i / SIZE] += x;
        sab[i / SIZE] += B[i] * x;
    };
    auto add_to_B = [&](int i, long long x) {
        B[i] += x;
        sb[i / SIZE] += x;
        sab[i / SIZE] += A[i] * x;
    };
    
    while (Q--) {
        int type, l, r;
        long long x;
        cin >> type >> l >> r;
        --l;
        
        int lq = l / SIZE, lr = l % SIZE;
        int rq = r / SIZE, rr = r % SIZE;
        
        if (type == 1) {
            cin >> x;
            if (lq == rq) {
                for (int i = l; i < r; ++i) add_to_A(i, x);
            } else {
                for (int i = lr; i < SIZE; ++i) add_to_A(lq * SIZE + i, x);
                for (int i = 0; i < rr; ++i) add_to_A(rq * SIZE + i, x);
                for (int i = lq + 1; i < rq; ++i) addA[i] += x;
            }
        } else if (type == 2) {
            cin >> x;
            if (lq == rq) {
                for (int i = l; i < r; ++i) add_to_B(i, x);
            } else {
                for (int i = lr; i < SIZE; ++i) add_to_B(lq * SIZE + i, x);
                for (int i = 0; i < rr; ++i) add_to_B(rq * SIZE + i, x);
                for (int i = lq + 1; i < rq; ++i) addB[i] += x;
            }
        } else {
            mint res = 0;
            if (lq == rq) {
                for (int i = l; i < r; ++i) {
                    res += (A[i] + addA[lq]) * (B[i] + addB[lq]);
                }
            } else {
                for (int i = lr; i < SIZE; ++i) {
                    res += (A[lq * SIZE + i] + addA[lq]) * (B[lq * SIZE + i] + addB[lq]);
                }
                for (int i = 0; i < rr; ++i) {
                    res += (A[rq * SIZE + i] + addA[rq]) * (B[rq * SIZE + i] + addB[rq]);
                }
                for (int i = lq + 1; i < rq; ++i) {
                    res += sab[i] + sa[i] * addB[i] + sb[i] * addA[i] + addA[i] * addB[i] * SIZE;
                }
            }
            cout << res << endl;
        }
    }
}