AtCoder ARC 160 B - Triple Pair (水色, 500 点)

これ系は好き！　これに近いのを ABC-D で最近よく見かける気がする。

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問題概要

整数 が与えられる。

3 つの整数の組 であって、 がすべて 以下であるようなものの個数を 998244353 で割ったあまりを求めよ。

ケース与えられる。

制約

• 
• 

考えたこと

に対称性があるので、大小関係を仮定したい。そして、基本的には最後に 倍すればよさそう。この手のテクニックは、高校数学でもよく見かける。

ただし、イコールを含むときには、最後に 6 倍すると言った部分で注意が必要だ。そこで、次の 4 つの場合に分けて考えることにする。

---

1. のとき：最後に 6 倍して足す
2. のとき：最後に 3 倍して足す
3. のとき：最後に 3 倍して足す
4. のとき：最後に 1 倍して足す (そのまま足す)

---

なお、大小関係を設定するメリットとして、 がすべて 以下という条件に対して、

という条件のみを考えればよいと言えることが大きい！！

1. について ( )

3 つの値の組を考えるときは、真ん中を固定するといいことが多い！

を固定すると

• は 以上 以下の数なので、 個
• は 以上 以下の数なので、 個

である。この積が求める個数である。つまり、次のようになる (res が答え)。

for (long long y = 1; y * y <= N; ++y) {
    res += (N/y - y) * (y - 1) * 6;
}

2. について ( )

やはり を固定すると

• は、 に等しい数なので、 個
• は 以上 以下の数なので、 個

である。この積が求める個数である。つまり、次のようになる (res が答え)。

for (long long y = 1; y * y <= N; ++y) {
    res += (N/y - y) * 3;
}

3. について ( )

やはり を固定すると

• は 以上 以下の数なので、 個
• は、( を前提として) 個

である。この積が求める個数である。つまり、次のようになる (res が答え)。

for (long long y = 1; y * y <= N; ++y) {
    res += (y - 1) * 3;
}

4. について ( )

やはり を固定すると

• は、 に等しい数なので、 個
• は、( を前提として) 個

である。この積が求める個数である。つまり、次のようになる (res が答え)。

for (long long y = 1; y * y <= N; ++y) {
    res += 1;
}

コード

以上の考察をまとめる。計算量は となる。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() const { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        if (n < 0) return modpow(modinv(r), -n);
        auto t = modpow(r, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * r;
        return t;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        return Fp<MOD>(u);
    }
};

const int MOD = 998244353;
using mint = Fp<MOD>;

mint solve(long long N) {
    mint res = 0;
    for (long long y = 1; y * y <= N; ++y) {
        res += (N/y - y) * (y - 1) * 6;
        res += (N/y - y) * 3;
        res += (y - 1) * 3;
        res += 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        long long N;
        cin >> N;
        cout << solve(N) << endl;
    }
}