AtCoder ABC 353 G - Merchant Takahashi (2D, 青色, 550 点)

の計算量までなら比較的すぐできる！

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問題概要

街 があって、街 間の行き来には だけの通行料がかかる。

回の市場がそれぞれ街 で行われ、 円えられる。

最初、無限の所持金を持っている。いくつかの市場に参加する (全く参加しなくてもよい) ことで得られる、所持金の変化額の最大値を求めよ。

制約

• 

考えたこと

次の DP ができる。

---

dp[ i + 1 ][ j ] ← 市場 を終えた直後に、街 にいるときの所持金の変化額の最大値

---

さて、この配列は、基本的には の部分のみ更新すればよい。このことに着目して、in-place 化しよう (in-place 化については次の記事を参照)。

qiita.com

このとき、dp[T[i]] の更新は、セグ木でできる。ただし、通行料を上手に扱うために、次の 2 本のセグ木をもつ

• minus[j] ← その時点で市場 にいるときの、所持金の変化額の最大値から、 を引いたもの
• plus[j] ← その時点で市場 にいるときの、所持金の変化額の最大値に、 を足したもの

これによって、DP 更新がスムーズにできるようになる。詳しくはコードにて。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// Segment Tree
template<class Monoid> struct SegmentTree {
    using Func = function<Monoid(Monoid, Monoid)>;

    // core member
    int N;
    Func OP;
    Monoid IDENTITY;
    
    // inner data
    int log, offset;
    vector<Monoid> dat;

    // constructor
    SegmentTree() {}
    SegmentTree(int n, const Func &op, const Monoid &identity) {
        init(n, op, identity);
    }
    SegmentTree(const vector<Monoid> &v, const Func &op, const Monoid &identity) {
        init(v, op, identity);
    }
    void init(int n, const Func &op, const Monoid &identity) {
        N = n;
        OP = op;
        IDENTITY = identity;
        log = 0, offset = 1;
        while (offset < N) ++log, offset <<= 1;
        dat.assign(offset * 2, IDENTITY);
    }
    void init(const vector<Monoid> &v, const Func &op, const Monoid &identity) {
        init((int)v.size(), op, identity);
        build(v);
    }
    void pull(int k) {
        dat[k] = OP(dat[k * 2], dat[k * 2 + 1]);
    }
    void build(const vector<Monoid> &v) {
        assert(N == (int)v.size());
        for (int i = 0; i < N; ++i) dat[i + offset] = v[i];
        for (int k = offset - 1; k > 0; --k) pull(k);
    }
    int size() const {
        return N;
    }
    Monoid operator [] (int i) const {
        return dat[i + offset];
    }
    
    // update A[i], i is 0-indexed, O(log N)
    void set(int i, const Monoid &v) {
        assert(0 <= i && i < N);
        int k = i + offset;
        dat[k] = v;
        while (k >>= 1) pull(k);
    }
    
    // get [l, r), l and r are 0-indexed, O(log N)
    Monoid prod(int l, int r) {
        assert(0 <= l && l <= r && r <= N);
        Monoid val_left = IDENTITY, val_right = IDENTITY;
        l += offset, r += offset;
        for (; l < r; l >>= 1, r >>= 1) {
            if (l & 1) val_left = OP(val_left, dat[l++]);
            if (r & 1) val_right = OP(dat[--r], val_right);
        }
        return OP(val_left, val_right);
    }
    Monoid all_prod() {
        return dat[1];
    }
    
    // get max r such that f(v) = True (v = prod(l, r)), O(log N)
    // f(IDENTITY) need to be True
    int max_right(const function<bool(Monoid)> f, int l = 0) {
        if (l == N) return N;
        l += offset;
        Monoid sum = IDENTITY;
        do {
            while (l % 2 == 0) l >>= 1;
            if (!f(OP(sum, dat[l]))) {
                while (l < offset) {
                    l = l * 2;
                    if (f(OP(sum, dat[l]))) {
                        sum = OP(sum, dat[l]);
                        ++l;
                    }
                }
                return l - offset;
            }
            sum = OP(sum, dat[l]);
            ++l;
        } while ((l & -l) != l);  // stop if l = 2^e
        return N;
    }

    // get min l that f(get(l, r)) = True (0-indexed), O(log N)
    // f(IDENTITY) need to be True
    int min_left(const function<bool(Monoid)> f, int r = -1) {
        if (r == 0) return 0;
        if (r == -1) r = N;
        r += offset;
        Monoid sum = IDENTITY;
        do {
            --r;
            while (r > 1 && (r % 2)) r >>= 1;
            if (!f(OP(dat[r], sum))) {
                while (r < offset) {
                    r = r * 2 + 1;
                    if (f(OP(dat[r], sum))) {
                        sum = OP(dat[r], sum);
                        --r;
                    }
                }
                return r + 1 - offset;
            }
            sum = OP(dat[r], sum);
        } while ((r & -r) != r);
        return 0;
    }
    
    // debug
    friend ostream& operator << (ostream &s, const SegmentTree &seg) {
        for (int i = 0; i < (int)seg.size(); ++i) {
            s << seg[i];
            if (i != (int)seg.size() - 1) s << " ";
        }
        return s;
    }
};

int main() {
    long long N, C, M;
    cin >> N >> C >> M;
    vector<long long> T(M), P(M);
    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        cin >> T[i] >> P[i];
        --T[i];
    }

    const long long INF = 1LL<<60;
    auto op = [&](long long a, long long b) -> long long { return max(a, b); };
    SegmentTree<long long> minus(N, op, -INF), plus(N, op, -INF);
    minus.set(0, 0), plus.set(0, 0);
    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        long long left = plus.prod(0, T[i]) - C * T[i];
        long long right = minus.prod(T[i], N) + C * T[i];
        long long val = max(left, right) + P[i];
        minus.set(T[i], max(minus[T[i]], val - C * T[i]));
        plus.set(T[i], max(plus[T[i]], val + C * T[i]));
    }
    
    long long res = 0;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        res = max(res, minus[i] + C * i);
    }
    cout << res << endl;
}