2024-05-19

AtCoder ABC 354 F - Useless for LIS (2D, 青色, 525 点)

LIS の応用問題。LIS を分かっていれば、その DP の過程を保存しておくことで、この問題が解けることがわかる！

問題へのリンク

問題概要

長さ $N$ の数列 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{N}$ が与えられる。

各 $i$ について、要素 $A_{i}$ を含むような数列 $A$ の LIS が存在するかどうかを判定せよ。

(マルチテストケース問題)

制約

$N \le 2 \times 10^{5}$

考えたこと

LIS のことをちゃんと思い出そうと考えた。ここでは座標圧縮してセグ木を使うバージョンの LIS DP を考えた。この DP によって

dp[i] ← 要素 $A_{i}$ を末尾とする LIS の長さ

が求められるということを思い出した。つまり、次の配列が求められることになる。

left[i] ← 数列の先頭から $i$ 個の要素からなる区間について、末尾が $A_{i}$ よりも小さい値であるような LIS の長さ
right[i] ← 数列の末尾から $i$ 個の要素からなる区間について、先頭が $A_{i}$ よりも大きな値であるような LIS の長さ

これらが求められれば、各 $i$ に対して、left[i] + right[i] + 1 == (LIS の長さ) が成り立つかどうかを確かめればよい。

全体の計算量は $O(N \log N)$ となる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// Segment Tree
template<class Monoid> struct SegmentTree {
    using Func = function<Monoid(Monoid, Monoid)>;

    // core member
    int N;
    Func OP;
    Monoid IDENTITY;
    
    // inner data
    int log, offset;
    vector<Monoid> dat;

    // constructor
    SegmentTree() {}
    SegmentTree(int n, const Func &op, const Monoid &identity) {
        init(n, op, identity);
    }
    SegmentTree(const vector<Monoid> &v, const Func &op, const Monoid &identity) {
        init(v, op, identity);
    }
    void init(int n, const Func &op, const Monoid &identity) {
        N = n;
        OP = op;
        IDENTITY = identity;
        log = 0, offset = 1;
        while (offset < N) ++log, offset <<= 1;
        dat.assign(offset * 2, IDENTITY);
    }
    void init(const vector<Monoid> &v, const Func &op, const Monoid &identity) {
        init((int)v.size(), op, identity);
        build(v);
    }
    void pull(int k) {
        dat[k] = OP(dat[k * 2], dat[k * 2 + 1]);
    }
    void build(const vector<Monoid> &v) {
        assert(N == (int)v.size());
        for (int i = 0; i < N; ++i) dat[i + offset] = v[i];
        for (int k = offset - 1; k > 0; --k) pull(k);
    }
    void clear() {
        dat.assign(dat.size(), IDENTITY);
    }
    int size() const {
        return N;
    }
    Monoid operator [] (int i) const {
        return dat[i + offset];
    }
    
    // update A[i], i is 0-indexed, O(log N)
    void set(int i, const Monoid &v) {
        assert(0 <= i && i < N);
        int k = i + offset;
        dat[k] = v;
        while (k >>= 1) pull(k);
    }
    
    // get [l, r), l and r are 0-indexed, O(log N)
    Monoid prod(int l, int r) {
        assert(0 <= l && l <= r && r <= N);
        Monoid val_left = IDENTITY, val_right = IDENTITY;
        l += offset, r += offset;
        for (; l < r; l >>= 1, r >>= 1) {
            if (l & 1) val_left = OP(val_left, dat[l++]);
            if (r & 1) val_right = OP(dat[--r], val_right);
        }
        return OP(val_left, val_right);
    }
    Monoid all_prod() {
        return dat[1];
    }
    
    // get max r that f(get(l, r)) = True (0-indexed), O(log N)
    // f(IDENTITY) need to be True
    int max_right(const function<bool(Monoid)> f, int l = 0) {
        if (l == N) return N;
        l += offset;
        Monoid sum = IDENTITY;
        do {
            while (l % 2 == 0) l >>= 1;
            if (!f(OP(sum, dat[l]))) {
                while (l < offset) {
                    l = l * 2;
                    if (f(OP(sum, dat[l]))) {
                        sum = OP(sum, dat[l]);
                        ++l;
                    }
                }
                return l - offset;
            }
            sum = OP(sum, dat[l]);
            ++l;
        } while ((l & -l) != l);  // stop if l = 2^e
        return N;
    }

    // get min l that f(get(l, r)) = True (0-indexed), O(log N)
    // f(IDENTITY) need to be True
    int min_left(const function<bool(Monoid)> f, int r = -1) {
        if (r == 0) return 0;
        if (r == -1) r = N;
        r += offset;
        Monoid sum = IDENTITY;
        do {
            --r;
            while (r > 1 && (r % 2)) r >>= 1;
            if (!f(OP(dat[r], sum))) {
                while (r < offset) {
                    r = r * 2 + 1;
                    if (f(OP(dat[r], sum))) {
                        sum = OP(dat[r], sum);
                        --r;
                    }
                }
                return r + 1 - offset;
            }
            sum = OP(dat[r], sum);
        } while ((r & -r) != r);
        return 0;
    }
    
    // debug
    friend ostream& operator << (ostream &s, const SegmentTree &seg) {
        for (int i = 0; i < (int)seg.size(); ++i) {
            s << seg[i];
            if (i != (int)seg.size() - 1) s << " ";
        }
        return s;
    }
};

void solve() {
    int N;
    cin >> N;
    vector<int> A(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> A[i];
    auto B = A;
    sort(B.begin(), B.end());
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        A[i] = lower_bound(B.begin(), B.end(), A[i]) - B.begin();
    }
    
    //COUT(A);
    
    vector<int> left(N, 0), right(N, 0);
    SegmentTree<int> seg(N + 1, [&](int p, int q){return max(p, q);}, 0);
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        int val = seg.prod(0, A[i]);
        left[i] = val;
        seg.set(A[i], val + 1);
        
        //cout << i << ": " << seg << endl;
    }
    
    int maxv = seg.all_prod();
    
    seg.clear();
    for (int i = N-1; i >= 0; --i) {
        int val = seg.prod(A[i] + 1, N + 1);
        right[i] = val;
        seg.set(A[i], val + 1);
        
        //cout << i << ": " << seg << endl;
    }
    
    //COUT(left); COUT(right);
    
    vector<int> res;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        if (left[i] + right[i] + 1 == maxv) res.push_back(i);
    }
    cout << res.size() << endl;
    for (auto v : res) cout << v+1 << " ";
    cout << endl;
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) solve();
}

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