2025-01-06

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Codeforces CodeforcesOthers セグメント木非自明なモノイド【問題集】セグメント木のステップアップ数列解空間:O(N^2)個の区間解空間:O(N^2)通りの選択肢 DP DP状態:フェーズ(耳DP) セグメント木のモノイド：状態DP 最適化問題クエリ処理問題データ構造テク：ばらした値をすべて持つ(真・積の和典型) f(i,j)をiとjとに分離する考察：操作・条件・目的関数を言い換える

これは典型らしいので、このセグメント木の使い方は今後押さえる！

問題へのリンク

問題概要

正の整数からなる数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{N}$ が与えられる。

一般に、数列 $b$ に対して、

$f(b) = \displaystyle \max_{1 \le l \le r \le N}(\max(b_{l}, b_{l+1}, \dots, b_{r}) - \min(b_{l}, b_{l+1}, \dots, b_{r}) - (r - l))$

とする。まず $f(a)$ の値を求めて、その後、次の $Q$ 回のクエリに答えよ。

【クエリ】
整数 $p, x$ が与えられるので、数列 $a$ の $a_{p}$ の値を $x$ に書き換える。そして、その後 $f(a)$ の値を出力せよ。

制約

$N, Q \le 2 \times 10^{5}$

考えたこと

数列 $a$ を固定したときの、

$g(l, r) = \max_{1 \le l \le r \le N}(\max(a_{l}, a_{l+1}, \dots, a_{r}) - \min(a_{l}, a_{l+1}, \dots, a_{r}) - (r - l))$

の求め方をまず考える。この手の問題によくあることとして、数列全体に等差数列を足したり引いたりすると、目的関数が分かりやすく記述できることがよくある。そうすると、次の 2 つの値のうちの大きい方の値に一致することがわかる。

max が min の右側にある場合：数列 $c_{i} = a_{i} - i$ を考えたとき、 $a_{r} - a_{l}$ ( $l \le r$ ) の最大値
max が min の左側にある場合：数列 $c_{i} = a_{i} + i$ を考えたとき、 $a_{l} - a_{r}$ ( $l \le r$ ) の最大値

後者は前者と同様に扱えるので、結局前者のみ考えることとする。

前者は、なんとセグメント木に乗る！！！　セグメント木のモノイドを

区間内の最小値 mi
区間内の最大値 ma （答えの更新に必要）
区間内の「右側 - 左側」の最大値 ans

で定義する。このとき、モノイド l, r の二項演算は次のように定義できる。

auto func = [&](const Node &l, const Node &r) -> Node {
    return Node(min(l.mi, r.mi), max(l.ma, r.ma), max({l.ans, r.ans, r.ma - l.mi}));
};

こうして、各クエリには次のように対処すればよいとわかった。

更新「 $a_{p} \leftarrow x$ 」：上記のセグメント木の 1 点更新
取得「 $f(a)$ の値を求める」：上記のセグメント木の全体区間の値を取得

全体で、 $O(N + Q \log N)$ の計算量の解法となる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// Segment Tree
template<class Monoid> struct SegmentTree {
    using Func = function<Monoid(Monoid, Monoid)>;

    // core member
    int N;
    Func OP;
    Monoid IDENTITY;
    
    // inner data
    int log, offset;
    vector<Monoid> dat;

    // constructor
    SegmentTree() {}
    SegmentTree(int n, const Func &op, const Monoid &identity) {
        init(n, op, identity);
    }
    SegmentTree(const vector<Monoid> &v, const Func &op, const Monoid &identity) {
        init(v, op, identity);
    }
    void init(int n, const Func &op, const Monoid &identity) {
        N = n;
        OP = op;
        IDENTITY = identity;
        log = 0, offset = 1;
        while (offset < N) ++log, offset <<= 1;
        dat.assign(offset * 2, IDENTITY);
    }
    void init(const vector<Monoid> &v, const Func &op, const Monoid &identity) {
        init((int)v.size(), op, identity);
        build(v);
    }
    void pull(int k) {
        dat[k] = OP(dat[k * 2], dat[k * 2 + 1]);
    }
    void build(const vector<Monoid> &v) {
        assert(N == (int)v.size());
        for (int i = 0; i < N; ++i) dat[i + offset] = v[i];
        for (int k = offset - 1; k > 0; --k) pull(k);
    }
    void clear() {
        dat.assign(dat.size(), IDENTITY);
    }
    int size() const {
        return N;
    }
    Monoid operator [] (int i) const {
        return dat[i + offset];
    }
    
    // update A[i], i is 0-indexed, O(log N)
    void set(int i, const Monoid &v) {
        assert(0 <= i && i < N);
        int k = i + offset;
        dat[k] = v;
        while (k >>= 1) pull(k);
    }
    
    // get [l, r), l and r are 0-indexed, O(log N)
    Monoid prod(int l, int r) {
        assert(0 <= l && l <= r && r <= N);
        Monoid val_left = IDENTITY, val_right = IDENTITY;
        l += offset, r += offset;
        for (; l < r; l >>= 1, r >>= 1) {
            if (l & 1) val_left = OP(val_left, dat[l++]);
            if (r & 1) val_right = OP(dat[--r], val_right);
        }
        return OP(val_left, val_right);
    }
    Monoid all_prod() {
        return dat[1];
    }
    
    // get max r such that f(v) = True (v = prod(l, r)), O(log N)
    // f(IDENTITY) need to be True
    int max_right(const function<bool(Monoid)> f, int l = 0) {
        if (l == N) return N;
        l += offset;
        Monoid sum = IDENTITY;
        do {
            while (l % 2 == 0) l >>= 1;
            if (!f(OP(sum, dat[l]))) {
                while (l < offset) {
                    l = l * 2;
                    if (f(OP(sum, dat[l]))) {
                        sum = OP(sum, dat[l]);
                        ++l;
                    }
                }
                return l - offset;
            }
            sum = OP(sum, dat[l]);
            ++l;
        } while ((l & -l) != l);  // stop if l = 2^e
        return N;
    }

    // get min l that f(get(l, r)) = True (0-indexed), O(log N)
    // f(IDENTITY) need to be True
    int min_left(const function<bool(Monoid)> f, int r = -1) {
        if (r == 0) return 0;
        if (r == -1) r = N;
        r += offset;
        Monoid sum = IDENTITY;
        do {
            --r;
            while (r > 1 && (r % 2)) r >>= 1;
            if (!f(OP(dat[r], sum))) {
                while (r < offset) {
                    r = r * 2 + 1;
                    if (f(OP(dat[r], sum))) {
                        sum = OP(dat[r], sum);
                        --r;
                    }
                }
                return r + 1 - offset;
            }
            sum = OP(dat[r], sum);
        } while ((r & -r) != r);
        return 0;
    }
    
    // debug
    friend ostream& operator << (ostream &s, const SegmentTree &seg) {
        for (int i = 0; i < (int)seg.size(); ++i) {
            s << seg[i];
            if (i != (int)seg.size() - 1) s << " ";
        }
        return s;
    }
};

const long long INF = 1LL << 60;
struct Node {
    long long mi, ma, ans;
    Node(){}
    Node(long long mi, long long ma, long long ans) :
    mi(mi), ma(ma), ans(ans) {}
    friend ostream& operator << (ostream &s, const Node &n) {
        return s << "(" << n.mi << "," << n.ma << "," << n.ans << ")";
    }
};

void solve() {
    long long N, Q, p, x;
    cin >> N >> Q;
    vector<long long> a(N);
    for (int i = 0; i < N; i++) cin >> a[i];

    vector<Node> left(N), right(N);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        left[i] = Node(a[i] - i, a[i] - i, 0);
        right[N-i-1] = Node(a[i] + i, a[i] + i, 0);
    }

    const Node identity = Node(INF, -INF, -INF);
    auto func = [&](const Node &l, const Node &r) -> Node {
        return Node(min(l.mi, r.mi), max(l.ma, r.ma), max({l.ans, r.ans, r.ma - l.mi}));
    };
    SegmentTree<Node> segleft(left, func, identity), segright(right, func, identity);

    cout << max(segleft.all_prod().ans, segright.all_prod().ans) << endl;
    while (Q--) {
        cin >> p >> x, p--;
        long long pl = p, pr = N-1-p, add = x-a[p];
        a[p] = x;

        long long leftval = segleft[pl].mi + add;
        long long rightval = segright[pr].mi + add;
        segleft.set(pl, Node(leftval, leftval, 0));
        segright.set(pr, Node(rightval, rightval, 0));

        cout << max(segleft.all_prod().ans, segright.all_prod().ans) << endl;
    }
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) solve();
}

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考えたこと

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