けんちょんの競プロ精進記録

競プロの精進記録や小ネタを書いていきます

AOJ 3210 Guriko on Line (OUPC 2020 B)

最初与えられる文字列が高橋くんの手だと勘違いして、サンプル 2 が無限にわからないとなっていました。
clar でお騒がせいたしました...ありがとうございます。

問題概要

高橋くんと青木くんがジャンケンを  N 回行う。青木くんの出した手は文字列  S で与えられる。

一方、高橋くんは最初座標 0 にいる。一回の操作では「座標  x から座標  x+1 または  x-1 のいずれかに移動する」という移動を行う。

 N 回のジャンケンのそれぞれについて

  • グーで勝ったときは、3 回の操作を行う
  • チョキまたはパーで勝ったときは、6 回の操作を行う

とする。最終的に座標  X にたどり着くことが可能となるような、高橋くんのジャンケンの手として考えられるものの個数を 1000000007 で割ったあまりを求めよ。

制約

  •  1 \le N \le 5 \times 10^{5}
  •  -5 \times 10^{5} \le X \le 5 \times 10^{5}

考えたこと

高橋くんがそれぞれの操作で実際どう動いたかは関係ないのね。とにかく座標  X が可能となるような手が出せれば OK。青木くんの手をベースに考えると

  • 'S' のときは、それに勝つことで -3, -1, +1, +3 のいずれかの移動が可能 (それ以外では動かない)
  • それ以外のときは、それに勝つことで -6, -4, -2, 0, +2, +4, +6 のいずれかの移動が可能 (それ以外では動かない)

というふうに捉えられる。そこで 'S' の個数を  A とし、それ以外の個数を  B とする。ここで、'S' に対して勝つ回数で場合分けして考えることにする。

'S' に対して  a 回勝つとき

まずそのような勝ち方は、 {}_{A}{\rm C}_{a} \times 2^{A-a} 通りある。それぞれ

  • 勝つターンの決め方が  {}_{A}{\rm C}_{a} 通り
  • 勝たない回それぞれについて、「負け」か「あいこ」の二択があるので、 2^{A-a} 通り

となっている。このとき、もし仮に  3a Xパリティ (偶奇) が異なっていた場合には、到達不可能であることに注意しよう。なぜなら、'S' 以外の手に対しては、勝っても負けても移動距離は偶数になるからだ。よって、 3a Xパリティが異なるような  a のみを考えることにする。

さてこのとき、'S' 以外の  B 回のターンのうち、勝つ回数を  b としたときに、それが可能であるためには

  •  3a + 6b \ge |X|

を満たす必要がある。一直線に座標  X を目指しても到達できない場合は絶対不可能だ。逆にこれを満たしていれば、かならず到達できる。よって  3a + 6b \ge |X| を満たす最小の整数  b b' としたならば、

  •  b = b', b'+1, \dots, B に対する
  •  {}_{B}{\rm C}_{b} \times 2^{B-b} の合計値

を求めればよい。これはあらかじめ  {}_{B}{\rm C}_{b} \times 2^{B-b} についての累積和を前処理で求めておくことで高速に求められる。

全体の計算量は  O(N) となる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() const { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        if (n < 0) return modpow(modinv(r), -n);
        auto t = modpow(r, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * r;
        return t;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        return Fp<MOD>(u);
    }
};

// Binomial coefficient
template<class T> struct BiCoef {
    vector<T> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) noexcept {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].getmod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr T com(int n, int k) const noexcept {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr T fact(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr T inv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr T finv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

const int MOD = 1000000007;
using mint = Fp<MOD>;
BiCoef<mint> bc;

int main() {
    int N, X; 
    cin >> N >> X; X = abs(X);
    bc.init(N+1);
    string S; cin >> S;
    int A = 0, B = 0;
    for (auto c : S) {
        if (c == 'S') ++A;
        else ++B;
    }

    vector<mint> sum(B+2, 0);
    for (int x = 0; x <= B; ++x) {
        mint tmp = bc.com(B, x) * modpow(mint(2), B-x);
        sum[x+1] = sum[x] + tmp;
    }

    mint res = 0;
    for (int a = 0; a <= A; ++a) {
        if ((X - a*3) % 2 != 0) continue;
        long long need = (X >= a*3 ? (X - a*3 + 5) / 6 : 0);
        if (need > B) continue; 
        res += bc.com(A, a) * modpow(mint(2), A-a) * (sum[B+1] - sum[need]);
    }
    cout << res << endl;
}