2023-08-13

yukicoder No.2422 regisys? (2D)

yukicoder 全部混ぜて解く考察：順序を工夫して解く Greedy Greedy:どちらも可なら厳しい方マッチング Greedyなマッチング二部マッチング Greedy:交換しても悪化しない N個のペア値の問題 setの上手な使い方平面走査 Hallの結婚定理 Monge性 anti-Monge性天才のGreedy 難しいGreedy 非自明な比較関数でソートする NoviSteps2D

めっちゃいい Greedy 問題だった！！

問題へのリンク

問題概要

$N$ 個の商品があり、 $i$ 番目の商品は、一般客は $A_{i}$ 円で購入でき、MMA 部員は $B_{i}$ 円で購入できる。なお、MMA 部員が一般客と比べて得できる商品もあれ得て、損する商品もあり得る。

$M$ 人がいて、 $j$ 人目は「一般客」か「MMA 部員」のいずれかであり (値 $T_{j}$ が 0 か 1 かで与えられる)、所持金は $C_{j}$ 円である。

売れ残る商品数の最小値を求めよ。

制約

$1 \le N, M \le 2 \times 10^{5}$

考えたこと

こういう問題は、たいてい $M$ 人の人を何らかの基準で小さい順に並べて、その順に購入する商品の規則をうまく決めてあげると全体が最適になるようにできている。

しかし、今回の問題では、 $M$ 人が 2 タイプ存在するため、 $M$ 人を一列に並べるのが困難に思われた。しかし、なんと、次のように並べればよかった。

まず一般客について、所持金が小さい順に並べる
その後ろに MMA 部員について、所持金が小さい順に並べる

なお、MMA 部員を先に並べて、一般客をその後に並べても同様に解ける。このように並べた上で、次の規則で商品を選んでいく。

人目が一般客の場合：
- 自分の所持金で買える商品のうち、MMA 部員が買う場合の価格が最も高いものを選ぶ
人目が MMA 部員の場合：
- 自分の所持金で買える商品はどれを選んでもよい

まず、 $j$ 人目が一般客の場合、MMA 部員のことを考えないならば、自分が買える商品は何を選んでもよい。後ろに並んでいる一般客は、自分よりも所持金が多いためだ。MMA 部員のことを考えるならば、MMA 部員が最も苦しまない選択 (MMA 部員が買った場合の価格が最も高いものを選ぶこと) をすればよい。

厳密には、いつもの考え方「交換しても悪化しない」で証明できる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T> inline bool chmax(T& a, T b) { if (a < b) { a = b; return 1; } return 0; }
template<class T> inline bool chmin(T& a, T b) { if (a > b) { a = b; return 1; } return 0; }
using pint = pair<int, int>;
using pll = pair<long long, long long>;

// Segment Tree
template<class Monoid> struct SegTree {
    using Func = function<Monoid(Monoid, Monoid)>;

    // core member
    int SIZE;
    Func F;
    Monoid IDENTITY;
    
    // data
    int offset;
    vector<Monoid> dat;

    // constructor
    SegTree() {}
    SegTree(int n, const Func &f, const Monoid &identity)
    : SIZE(n), F(f), IDENTITY(identity) {
        offset = 1;
        while (offset < n) offset *= 2;
        dat.assign(offset * 2, IDENTITY);
    }
    void init(int n, const Func &f, const Monoid &identity) {
        SIZE = n;
        F = f;
        IDENTITY = identity;
        offset = 1;
        while (offset < n) offset *= 2;
        dat.assign(offset * 2, IDENTITY);
    }
    int size() const { return SIZE; }
    
    // set, a is 0-indexed //
    // build(): O(N)
    void set(int a, const Monoid &v) { dat[a + offset] = v; }
    void build() {
        for (int k = offset - 1; k > 0; --k)
            dat[k] = F(dat[k*2], dat[k*2+1]);
    }
    void build(const vector<Monoid> &vec) {
        for (int a = 0; a < vec.size() && a + offset < dat.size(); ++a)
            set(a, vec[a]);
        build();
    }
    
    // update a, a is 0-indexed, O(log N)
    void update(int a, const Monoid &v) {
        int k = a + offset;
        dat[k] = v;
        while (k >>= 1) dat[k] = F(dat[k*2], dat[k*2+1]);
    }
    
    // get [a, b), a and b are 0-indexed, O(log N)
    Monoid get(int a, int b) {
        Monoid vleft = IDENTITY, vright = IDENTITY;
        for (int left = a + offset, right = b + offset; left < right;
        left >>= 1, right >>= 1) {
            if (left & 1) vleft = F(vleft, dat[left++]);
            if (right & 1) vright = F(dat[--right], vright);
        }
        return F(vleft, vright);
    }
    Monoid get_all() { return dat[1]; }
    Monoid operator [] (int a) const { return dat[a + offset]; }
    
    // get max r that f(get(l, r)) = True (0-indexed), O(log N)
    // f(IDENTITY) need to be True
    int max_right(const function<bool(Monoid)> f, int l = 0) {
        if (l == SIZE) return SIZE;
        l += offset;
        Monoid sum = IDENTITY;
        do {
            while (l % 2 == 0) l >>= 1;
            if (!f(F(sum, dat[l]))) {
                while (l < offset) {
                    l = l * 2;
                    if (f(F(sum, dat[l]))) {
                        sum = F(sum, dat[l]);
                        ++l;
                    }
                }
                return l - offset;
            }
            sum = F(sum, dat[l]);
            ++l;
        } while ((l & -l) != l);  // stop if l = 2^e
        return SIZE;
    }

    // get min l that f(get(l, r)) = True (0-indexed), O(log N)
    // f(IDENTITY) need to be True
    int min_left(const function<bool(Monoid)> f, int r = -1) {
        if (r == 0) return 0;
        if (r == -1) r = SIZE;
        r += offset;
        Monoid sum = IDENTITY;
        do {
            --r;
            while (r > 1 && (r % 2)) r >>= 1;
            if (!f(F(dat[r], sum))) {
                while (r < offset) {
                    r = r * 2 + 1;
                    if (f(F(dat[r], sum))) {
                        sum = F(dat[r], sum);
                        --r;
                    }
                }
                return r + 1 - offset;
            }
            sum = F(dat[r], sum);
        } while ((r & -r) != r);
        return 0;
    }
    
    // debug
    friend ostream& operator << (ostream &s, const SegTree &seg) {
        for (int i = 0; i < seg.size(); ++i) {
            s << seg[i];
            if (i != seg.size()-1) s << " ";
        }
        return s;
    }
};

const long long INF = 1LL<<60;
int main() {
    int N, M;
    cin >> N >> M;
    vector<pll> items(N);  // {A[i], B[i]}
    vector<long long> gen, mma;
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> items[i].first;
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> items[i].second;
    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        long long T, C;
        cin >> T >> C;
        if (T == 0) gen.push_back(C);
        else mma.push_back(C);
    }
    sort(items.begin(), items.end());
    sort(gen.begin(), gen.end());
    sort(mma.begin(), mma.end());
    
    // 特定区間の B の最大値・最小値を求めるためのセグ木
    using Node = pair<long long, int>;  // {最大値 or 最小値, index}
    SegTree<Node> seg_max(N, [&](Node a, Node b){ return max(a, b); }, Node(-INF, -1));
    SegTree<Node> seg_min(N, [&](Node a, Node b){ return min(a, b); }, Node(INF, -1));
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        seg_max.set(i, pll(items[i].second, i));
        seg_min.set(i, pll(items[i].second, i));
    }
    seg_max.build(), seg_min.build();
    
    // gen -> mma のそれぞれ所持金が小さい順に見ていく
    int match = 0;
    for (auto v : gen) {
        // まだ購入されていない商品のうち、A[i] <= v である範囲内で B[i] が最大の i を選ぶ
        int right = upper_bound(items.begin(), items.end(), pll(v, INF)) - items.begin();
        auto [max_cost, index] = seg_max.get(0, right);
        
        // 購入済みにする
        if (index == -1) continue;
        ++match;
        seg_max.update(index, pll(-INF, -1));
        seg_min.update(index, pll(INF, -1));
    }
    for (auto v : mma) {
        // まだ購入されていない商品のうち、B[i] <= v であるような i を選ぶ (ここでは最小をとる)
        auto [min_cost, index] = seg_min.get(0, N);
                
        // 購入済みにする
        if (index == -1 || v < min_cost) continue;
        ++match;
        seg_max.update(index, pll(-INF, -1));
        seg_min.update(index, pll(INF, -1));
    }
    cout << N - match << endl;
}

別解

Hall の定理で解く解法もあるみたい！

ssrs.hatenablog.com

けんちょんの競プロ精進記録

競プロの精進記録や小ネタを書いていきます

yukicoder No.2422 regisys? (2D)

問題概要

制約

考えたこと

コード

別解