問題概要

整数 $N$ が与えられる。

整数 $N$ の十進法表記を $N$ 個 concat してできる整数を 998244353 で割った余りを求めよ。

制約

$1 \le N \le 10^{18}$

考えたこと

まず、整数 $N$ が $d$ 桁だとしよう！　このとき、求めたい値は次のように表現できる。

$N + 10^{d}N + 10^{2d}N + \dots + 10^{(N-1)d}N$

よって、 $M = 10^{d}$ とすると、求めたい値は次のように計算できる。

$N + 10^{d}N + 10^{2d}N + \dots + 10^{(N-1)d}N$
$= N(1 + M + M^{2} + \dots + M^{N-1})$
$= N \times \displaystyle \frac{M^{N} - 1}{M - 1}$

これを求めるための計算量は $O(\log N)$ となる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    // inner value
    long long val;
    
    // constructor
    constexpr Fp() : val(0) { }
    constexpr Fp(long long v) : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr long long get() const { return val; }
    constexpr int get_mod() const { return MOD; }
    
    // arithmetic operators
    constexpr Fp operator + () const { return Fp(*this); }
    constexpr Fp operator - () const { return Fp(0) - Fp(*this); }
    constexpr Fp operator + (const Fp &r) const { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp &r) const { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp &r) const { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp &r) const { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp &r) {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp &r) {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp &r) {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp &r) {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp pow(long long n) const {
        Fp res(1), mul(*this);
        while (n > 0) {
            if (n & 1) res *= mul;
            mul *= mul;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    constexpr Fp inv() const {
        Fp res(1), div(*this);
        return res / div;
    }

    // other operators
    constexpr bool operator == (const Fp &r) const {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp &r) const {
        return this->val != r.val;
    }
    constexpr Fp& operator ++ () {
        ++val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -- () {
        if (val == 0) val += MOD;
        --val;
        return *this;
    }
    constexpr Fp operator ++ (int) const {
        Fp res = *this;
        ++*this;
        return res;
    }
    constexpr Fp operator -- (int) const {
        Fp res = *this;
        --*this;
        return res;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD> &x) {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD> &x) {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> pow(const Fp<MOD> &r, long long n) {
        return r.pow(n);
    }
    friend constexpr Fp<MOD> inv(const Fp<MOD> &r) {
        return r.inv();
    }
};

const int MOD = 998244353;
using mint = Fp<MOD>;

int main() {
    long long N;
    cin >> N;
    string S = to_string(N);
    
    int con = S.size();
    mint fac = 1;
    for (int i = 0; i < con; ++i) fac *= 10;
    
    mint res = (fac.pow(N) - 1) / (fac - 1) * N;
    cout << res << endl;
}

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AtCoder ABC 357 D - 88888888 (1Q, 緑色, 350 点)

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