問題概要

二次元平面上に点 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{N}$ と $Q_{1}, Q_{2}, \dots, Q_{N}$ という $2N$ 個の点がある。同一直線上に 3 点が乗ることはない。

$1, 2, \dots, N$ の順列 $R$ であって、次の条件を満たすものが存在するかどうかを判定し、存在するならば 1 つ示せ。

【条件】
$i = 1, 2, \dots, N$ に対して、2 点 $P_{i}$ , $Q_{R_{i}}$ を結んでできる $N$ 本の線分を考える。これらのうちどの 2 本も共有点を持たない。

制約

$1 \le N \le 300$

考えたこと

コンテスト中、きっと常に可能だと考えた。もし凸包を作ったときに $P$ 側と $Q$ 側の点を両方含むならば、凸包をなす多角形の一辺であって、両端点が $P, Q$ であるものをマッチさせて、残りを考えれば良い......などと考えていた。だが、凸包が常に $P$ 側と $Q$ 側の点を両方を含むとは限らず、悩んでいた。

他にも、もし 2 本の線分が交差するならば、それを解消することができるので山登り法が使えるのではないかとか考えていた。が、結局決定打となる解法は思い浮かばなかった。

解説を読んで、とてもシンプルだった。上記の山登り法と発想が近い。次のような設定の二部マッチングを考える。

左側頂点： $P$ 側の $N$ 点に対応する $N$ 個の頂点
右側頂点： $Q$ 側の $N$ 点に対応する $N$ 個の頂点
左側頂点 $i$ と右側頂点 $j$ を結ぶ辺の重み：対応する頂点間の距離

この二部グラフで、重みが最小となる二部マッチングを求めると、なんとそれが答えとなるのだ！！

なぜなら、もしそのようなマッチングをとったときに、対応する線分が交差するならば、それを解消することで、より辺の重みの和が小さくなって矛盾するからだ。

あとは、最小重みの二部マッチングを求めれば良い。 $O(N^{3})$ の計算量で求められる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// edge class (for network-flow)
template<class FLOWTYPE, class COSTTYPE> struct FlowCostEdge {
    // core members
    int rev, from, to;
    FLOWTYPE cap, icap, flow;
    COSTTYPE cost;
    
    // constructor
    FlowCostEdge(int rev, int from, int to, FLOWTYPE cap, COSTTYPE cost)
    : rev(rev), from(from), to(to), cap(cap), icap(cap), flow(0), cost(cost) {}
    void reset() { cap = icap, flow = 0; }
    
    // debug
    friend ostream& operator << (ostream& s, const FlowCostEdge& e) {
        return s << e.from << " -> " << e.to
        << " (" << e.flow << "/" << e.icap << ", " << e.cost << ")";
    }
};

// graph class (for network-flow)
template<class FLOWTYPE, class COSTTYPE> struct FlowCostGraph {
    // core members
    vector<vector<FlowCostEdge<FLOWTYPE, COSTTYPE>>> list;
    vector<pair<int,int>> pos;  // pos[i] := {vertex, order of list[vertex]} of i-th edge
    
    // constructor
    FlowCostGraph(int n = 0) : list(n) { }
    void init(int n = 0) {
        list.assign(n, FlowCostEdge<FLOWTYPE, COSTTYPE>());
        pos.clear();
    }
    
    // getter
    vector<FlowCostEdge<FLOWTYPE, COSTTYPE>> &operator [] (int i) {
        return list[i];
    }
    const vector<FlowCostEdge<FLOWTYPE, COSTTYPE>> &operator [] (int i) const {
        return list[i];
    }
    size_t size() const {
        return list.size();
    }
    FlowCostEdge<FLOWTYPE, COSTTYPE> &get_rev_edge
    (const FlowCostEdge<FLOWTYPE, COSTTYPE> &e) {
        if (e.from != e.to) return list[e.to][e.rev];
        else return list[e.to][e.rev + 1];
    }
    FlowCostEdge<FLOWTYPE, COSTTYPE> &get_edge(int i) {
        return list[pos[i].first][pos[i].second];
    }
    const FlowCostEdge<FLOWTYPE, COSTTYPE> &get_edge(int i) const {
        return list[pos[i].first][pos[i].second];
    }
    vector<FlowCostEdge<FLOWTYPE, COSTTYPE>> get_edges() const {
        vector<FlowCostEdge<FLOWTYPE, COSTTYPE>> edges;
        for (int i = 0; i < (int)pos.size(); ++i) {
            edges.push_back(get_edge(i));
        }
        return edges;
    }
    
    // change edges
    void reset() {
        for (int i = 0; i < (int)list.size(); ++i) {
            for (FlowCostEdge<FLOWTYPE, COSTTYPE> &e : list[i]) e.reset();
        }
    }
    
    // add_edge
    void add_edge(int from, int to, FLOWTYPE cap, COSTTYPE cost) {
        pos.emplace_back(from, (int)list[from].size());
        list[from].push_back(FlowCostEdge<FLOWTYPE, COSTTYPE>
                             ((int)list[to].size(), from, to, cap, cost));
        list[to].push_back(FlowCostEdge<FLOWTYPE, COSTTYPE>
                           ((int)list[from].size() - 1, to, from, 0, -cost));
    }

    // debug
    friend ostream& operator << (ostream& s, const FlowCostGraph &G) {
        const auto &edges = G.get_edges();
        for (const auto &e : edges) s << e << endl;
        return s;
    }
};

// min-cost max-flow (<= limit_flow), slope ver.
template<class FLOWTYPE, class COSTTYPE> vector<pair<FLOWTYPE, COSTTYPE>>
MinCostFlowSlope(FlowCostGraph<FLOWTYPE, COSTTYPE> &G, int S, int T, FLOWTYPE limit_flow)
{
    // result values
    FLOWTYPE cur_flow = 0;
    COSTTYPE cur_cost = 0, pre_cost = -1;
    vector<pair<FLOWTYPE, COSTTYPE>> res;
    res.emplace_back(cur_flow, cur_cost);
    
    // intermediate values
    vector<COSTTYPE> dual((int)G.size(), 0), dist((int)G.size());
    vector<int> prevv((int)G.size(), -1), preve((int)G.size(), -1);
    
    // dual
    auto dual_step = [&]() -> bool {
        priority_queue<pair<COSTTYPE,int>, vector<pair<COSTTYPE,int>>, greater<pair<COSTTYPE,int>>> que;
        que.push({0, S});
        dist.assign((int)G.size(), numeric_limits<COSTTYPE>::max());
        dist[S] = 0;
        while (!que.empty()) {
            auto [cur_cost, v] = que.top();
            que.pop();
            if (dist[v] < cur_cost) continue;
            for (int i = 0; i < (int)G[v].size(); ++i) {
                const auto &e = G[v][i];
                COSTTYPE new_cost = e.cost + dual[v] - dual[e.to];
                if (e.cap > 0 && dist[e.to] > dist[v] + new_cost) {
                    dist[e.to] = dist[v] + new_cost;
                    prevv[e.to] = v;
                    preve[e.to] = i;
                    que.push({dist[e.to], e.to});
                }
            }
        }
        if (dist[T] == numeric_limits<COSTTYPE>::max()) return false;
        for (int v = 0; v < (int)G.size(); ++v) {
            if (dist[T] == numeric_limits<COSTTYPE>::max()) continue;
            dual[v] -= dist[T] - dist[v];
        }
        return true;
    };
    
    // primal
    auto primal_step = [&]() -> void {
        FLOWTYPE flow = limit_flow - cur_flow;
        COSTTYPE cost = -dual[S];
        for (int v = T; v != S; v = prevv[v]) {
            flow = min(flow, G[prevv[v]][preve[v]].cap);
        }
        for (int v = T; v != S; v = prevv[v]) {
            FlowCostEdge<FLOWTYPE, COSTTYPE> &e = G[prevv[v]][preve[v]];
            FlowCostEdge<FLOWTYPE, COSTTYPE> &re = G.get_rev_edge(e);
            e.cap -= flow, e.flow += flow;
            re.cap += flow, re.flow -= flow;
        }
        cur_flow += flow;
        cur_cost += flow * cost;
        if (pre_cost == cost) res.pop_back();
        res.emplace_back(cur_flow, cur_cost);
        pre_cost = cur_cost;
    };
    
    // primal-dual
    while (cur_flow < limit_flow) {
        if (!dual_step()) break;
        primal_step();
    }
    return res;
}

// min-cost max-flow, slope ver.
template<class FLOWTYPE, class COSTTYPE> vector<pair<FLOWTYPE, COSTTYPE>>
MinCostFlowSlope(FlowCostGraph<FLOWTYPE, COSTTYPE> &G, int S, int T)
{
    return MinCostFlowSlope(G, S, T, numeric_limits<FLOWTYPE>::max());
}

// min-cost max-flow (<= limit_flow)
template<class FLOWTYPE, class COSTTYPE> pair<FLOWTYPE, COSTTYPE>
MinCostFlow(FlowCostGraph<FLOWTYPE, COSTTYPE> &G, int S, int T, FLOWTYPE limit_flow)
{
    return MinCostFlowSlope(G, S, T, limit_flow).back();
}

// min-cost max-flow (<= limit_flow)
template<class FLOWTYPE, class COSTTYPE> pair<FLOWTYPE, COSTTYPE>
MinCostFlow(FlowCostGraph<FLOWTYPE, COSTTYPE> &G, int S, int T)
{
    return MinCostFlow(G, S, T, numeric_limits<FLOWTYPE>::max());
}

int main() {
    int N;
    cin >> N;
    vector<long long> px(N), py(N), qx(N), qy(N);
    for (int i = 0; i < N; i++) cin >> px[i] >> py[i];
    for (int i = 0; i < N; i++) cin >> qx[i] >> qy[i];

    FlowCostGraph<int, double> G(N*2 + 2);
    int s = N*2, t = N*2 + 1;
    for (int v = 0; v < N; v++) {
        G.add_edge(s, v, 1, 0), G.add_edge(v+N, t, 1, 0);
    }
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            double dist = sqrt((px[i] - qx[j]) * (px[i] - qx[j]) + (py[i] - qy[j]) * (py[i] - qy[j]));
            G.add_edge(i, j+N, 1, dist);
        }
    }
    auto [flow, cost] = MinCostFlow(G, s, t, N);

    vector<int> res(N);
    auto vec = G.get_edges();
    for (auto e : vec) {
        if (e.flow == 1 && 0 <= e.from && e.from < N) res[e.from] = e.to - N;
    }
    for (auto val : res) cout << val+1 << " ";
    cout << endl;
}