AtCoder ABC 150 E - Change a Little Bit (青色, 500 点)

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問題概要

長さ の整数列 が与えられる。

長さ の 0 と 1 からなる文字列 に対して定まる関数 は次のようになっている。 は、次のようにして文字列 を文字列 に一致させるのに必要な最小コストとする。

• 回目の操作で、 の文字 を選んで 0 は 1 に、1 は 0 にする
• このときにかかるコストは であって、これが加算される

あらゆる の組合せを考えたときの、 の総和を 1000000007 で割ったあまりを求めよ。

制約

• 

考えたこと

まず、 は 0000...0 としてかまわない。それ以外の場合であっても、0000...0 の場合に答えは一致する。よって、 を 0000...0 に固定した場合の、 通りの に対して の総和を求めて、最後にそれに をかければ OK。

さて、 に 1 が 個あるとき、 回の操作を行うことになるが、それらの index を とすると

• 
• 
• ...
• 

を総和していくことになる。 は大きい順にやった方がよいことがわかる。考察を簡単にするために、入力 もあらかじめ大きい順にソートすることにする。

個別の要素に

番目の要素について、それらが 回加算されるような が何個あるのかを考えることにする。

• 番目に採用されるような は 個
• 番目に採用されるような は 個
• ...
• 番目に採用されるような は 個

ということになっている。よって、

• 

を計算して、これを について合計すれば OK。二項係数について

• 
• 

が成立する。前者は有名だが、後者はあまり有名でないかもしれない。後者は次のようにしてわかる。一般に

• 

が成立することを利用すると、

となる。以上から、

=

となることがわかった。

式変形しなくても

二項係数計算は、式変形頑張らなくても、意味を考えればできるっぽい。解説放送より。

https://www.youtube.com/watch?v=9MphwmIsO7Q

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

// modint: mod 計算を int を扱うように扱える構造体
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b; swap(a, b);
            u -= t * v; swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &a, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        auto t = modpow(a, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * a;
        return t;
    }
};

const int MOD = 1000000007;
using mint = Fp<MOD>;

int N;
vector<long long> c;

mint solve() {
    if (N == 1) return mint(c[0]) * 2;
    sort(c.begin(), c.end(), greater<long long>()); 
    mint res = 0;
    mint n2 = modpow(mint(2), N-2);
    mint n1 = modpow(mint(2), N-1);
    for (int n = 0; n < N; ++n) {
        mint fac = n2 * n + n1;
        res += fac * c[n];
    }
    return res * modpow(mint(2), N);
}

int main() {
    while (cin >> N) {
        c.resize(N);
        for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> c[i];
        cout << solve() << endl;
    }
}