yukicoder 399 動的な領主

ツリー上のクエリの練習

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問題概要 (意訳)

N 頂点のツリーが与えられて以下の Q 個の操作を行う。初期状態では全頂点の値は 0 である。

• 2 頂点 u, v 間のパス上に含まれる頂点すべて (u, v も含む) の値を +1 する。

Q 回の操作後の各頂点の値を num としたとき、各頂点についての「1 + 2 + ... + num」の値の総和を求めよ。

制約

• 2 <= N, Q <= 10⁵

考えたこと

値取得クエリが最後の 1 回だけなのでいもす法でできる。他に

• Euler ツアー
• HL 分解

でもできそう。Link-Cut Tree でもできるらしい。

a, b の LCA を p として、パス a-b への区間加算 (+v) は

• value[a]++
• value[b]++
• value[p]--
• value[parent[p]]--

という感じで実現できる。最後に累積和をとる場面では、普通にツリー DP をする感じでやれば OK。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

typedef vector<vector<int> > Graph;
struct LCA {
    vector<vector<int> > parent; // parent[d][v] := 2^d-th parent of v
    vector<int> depth;
    LCA() { }
    LCA(const Graph &G, int r = 0) { init(G, r); }
    void init(const Graph &G, int r = 0) {
        int V = (int)G.size();
        int h = 1;
        while ((1<<h) < V) ++h;
        parent.assign(h, vector<int>(V, -1));
        depth.assign(V, -1);
        dfs(G, r, -1, 0);
        for (int i = 0; i+1 < (int)parent.size(); ++i)
            for (int v = 0; v < V; ++v)
                if (parent[i][v] != -1)
                    parent[i+1][v] = parent[i][parent[i][v]];
    }
    void dfs(const Graph &G, int v, int p, int d) {
        parent[0][v] = p;
        depth[v] = d;
        for (auto e : G[v]) if (e != p) dfs(G, e, v, d+1);
    }
    int get(int u, int v) {
        if (depth[u] > depth[v]) swap(u, v);
        for (int i = 0; i < (int)parent.size(); ++i)
            if ( (depth[v] - depth[u]) & (1<<i) )
                v = parent[i][v];
        if (u == v) return u;
        for (int i = (int)parent.size()-1; i >= 0; --i) {
            if (parent[i][u] != parent[i][v]) {
                u = parent[i][u];
                v = parent[i][v];
            }
        }
        return parent[0][u];
    }
};

vector<long long> sum;
void rec(const Graph &G, int v, int p) {
    for (auto e : G[v]) {
        if (e == p) continue;
        rec(G, e, v);
        sum[v] += sum[e];
    }
}

int main() {
    int N, Q;
    cin >> N;
    Graph G(N);
    for (int i = 0; i < N-1; ++i) {
        int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); --u, --v;
        G[u].push_back(v); G[v].push_back(u);
    }
    LCA lca(G);
    cin >> Q; sum.assign(N+1, 0);
    for (int q = 0; q < Q; ++q) {
        int a, b; cin >> a >> b; --a, --b;
        int p = lca.get(a, b);
        int pp = lca.parent[0][p];
        if (pp == -1) pp = N;
        sum[a]++; sum[pp]--;
        sum[b]++;
        sum[p]--;
        //cout << a << ", " << b << ": " << p << endl;
    }
    rec(G, 0, -1);
    long long res = 0;
    for (int v = 0; v < N; ++v) res += sum[v] * (sum[v] + 1) / 2;
    cout << res << endl;
}