けんちょんの競プロ精進記録

競プロの精進記録や小ネタを書いていきます

EDPC Y - Grid 2

座圧に見えてしまった

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問題概要

 H × W のグリッドがあります。グリッドのうち  N マスに壁があって壁の位置は  (r_i, c_i) で与えられます。壁のあるマスには行けません。

マス  (1, 1) からマス  (H, W) へと至る最短経路が何通りあるか、 1000000007 で割ったあまりを求めよ。

制約

  •  2 \le H, W \le 10^{5}
  •  1 \le N \le 3000

考えたこと

全体から「壁を通る場合を引く」という発想がなかなか...
でもこれはそういう感覚を丸ごと飲み込むぞ!!!!!!

  • 全体
  • 壁を 1 個以上通るものを引く
  • 壁を 2 個以上通るものを足す
  • 壁を 3 個以上通るものを引く
  • ...

とやっていく。DP する

  • dp[ i + 1 ][ j ] := i 個目の壁までを見て、i 番目の壁を最後に使って、j 個使う場合の場合の数

とすればよさそう。ただこのままだと  O(N^{3}) になってしまうので、代わりに

  • dp[ i + 1 ][ 偶奇 ] := i 個目の壁までを見て、i 番目の壁を最後に使って、(偶奇) 個使う場合の場合の数

とすればいい。これで  O(N^{2}) になる。注意点として、 (r_i, c_i) は昇順に並べておく (キーは  r_i でも  c_i でもいい)

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

using pint = pair<int,int>;
const int MAX = 210000;
const int MOD = 1000000007;

long long fac[MAX], finv[MAX], inv[MAX];
void COMinit(){
    fac[0] = fac[1] = 1;
    finv[0] = finv[1] = 1;
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < MAX; i++){
        fac[i] = fac[i-1] * i % MOD;
        inv[i] = MOD - inv[MOD%i] * (MOD/i) % MOD;
        finv[i] = finv[i-1] * inv[i] % MOD;
    }
}
long long COM(int n, int k){
    if(n < k) return 0;
    if (n < 0 || k < 0) return 0;
    return fac[n] * (finv[k] * finv[n-k] % MOD) % MOD;
}

int H, W, N;
vector<pint> wall;
long long dp[3100][2] = {0};

int main() {
    COMinit();
    cin >> H >> W >> N;
    wall.resize(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        cin >> wall[i].first >> wall[i].second;
        --wall[i].first, --wall[i].second;
    }
    wall.push_back(pint(0, 0));
    sort(wall.begin(), wall.end());
    N = (int)wall.size();
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        for (int num = 0; num < 2; ++num) {
            for (int j = i + 1; j < N; ++j) {
                if (wall[j].first < wall[i].first || wall[j].second < wall[j].second) continue;
                int dx = wall[j].first - wall[i].first;
                int dy = wall[j].second - wall[i].second;
                long long factor = COM(dx + dy, dx);
                dp[j][1 - num] += dp[i][num] * factor % MOD;
                dp[j][1 - num] %= MOD;
            }
        }
    }
    
    long long res = COM(H+W-2, H-1);
    for (int i = 1; i < N; ++i) {
        for (int num = 0; num < 2; ++num) {
            int dx = H-1-wall[i].first;
            int dy = W-1-wall[i].second;
            long long tmp = dp[i][num] * COM(dx + dy, dx) % MOD;
            if (num & 1) res = (res - tmp + MOD) % MOD;
            else res = (res + tmp) % MOD;
        }
    }
    cout << res << endl;
}