AtCoder ABC 207 E - Mod i (2D, 青色, 500 点)

この手の累積和高速化が半端じゃなく苦手なことがわかった。

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問題概要

長さ の数列 が与えられる。

この数列をいくつかの区間に分割する方法のうち、 番目の区間に含まれる数列の要素の総和が で割り切れるようなものの個数を 1000000007 で割った余りを求めよ。

制約

• 

考えたこと

は通るが、 は通らない。しかし、愚直にやると の計算量の DP 解法となる。次の配列 dp を考えたくなるだろう。

• dp[i][j] ← 数列の先頭から 個の要素を 個の区間に分割する方法のうち、条件を満たすものの個数

この DP は次のように更新できる。なお、数列 の累積和を とする。

---

のうち、 であるような について、

dp[i][j] += dp[k][j-1]

---

このままだと の計算量となるので、累積和を用いて高速化しよう。

累積和

次の配列を考える。

• sum[i][j][r] ← のうち、 であるような についての、dp[k][j-1] の総和

この sum は次のように更新できる。

---

、 について

• のとき：
  • sum[i+1][j][k] = sum[i][j][k] + dp[i][j-1]
• そうでないとき：
  • sum[i+1][j][k] = sum[i][j][k]

---

また、この sum を用いると、DP 更新式は次のように書き直せる。

dp[i][j] = sum[i][j][S[i]%j]

配列 sum の in-place 化

さて、一見すると sum の更新には の計算量 (時間的にもメモリ的にも) を要するようにも思える。しかし、配列 sum の更新は in-place 化できることに注意しよう。つまり、毎回次のような更新をすればよいことになる。これで sum の更新も の計算量で実現できる。

---

について、

sum[j][S[i]%j] += dp[i][j-1]

---

これによって、全体の計算量も となる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    // inner value
    long long val;
    
    // constructor
    constexpr Fp() : val(0) { }
    constexpr Fp(long long v) : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr long long get() const { return val; }
    constexpr int get_mod() const { return MOD; }
    
    // arithmetic operators
    constexpr Fp operator + () const { return Fp(*this); }
    constexpr Fp operator - () const { return Fp(0) - Fp(*this); }
    constexpr Fp operator + (const Fp &r) const { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp &r) const { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp &r) const { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp &r) const { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp &r) {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp &r) {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp &r) {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp &r) {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp pow(long long n) const {
        Fp res(1), mul(*this);
        while (n > 0) {
            if (n & 1) res *= mul;
            mul *= mul;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    constexpr Fp inv() const {
        Fp res(1), div(*this);
        return res / div;
    }

    // other operators
    constexpr bool operator == (const Fp &r) const {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp &r) const {
        return this->val != r.val;
    }
    constexpr Fp& operator ++ () {
        ++val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -- () {
        if (val == 0) val += MOD;
        --val;
        return *this;
    }
    constexpr Fp operator ++ (int) const {
        Fp res = *this;
        ++*this;
        return res;
    }
    constexpr Fp operator -- (int) const {
        Fp res = *this;
        --*this;
        return res;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD> &x) {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD> &x) {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> pow(const Fp<MOD> &r, long long n) {
        return r.pow(n);
    }
    friend constexpr Fp<MOD> inv(const Fp<MOD> &r) {
        return r.inv();
    }
};

int main() {
    const int MOD = 1000000007;
    using mint = Fp<MOD>;
    
    int N;
    cin >> N;
    vector<long long> A(N), S(N+1, 0);
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        cin >> A[i];
        S[i+1] = S[i] + A[i];
    }
    
    // dp[数列 A のうち左から i 個分][j 個のブロック] = 分割の個数
    vector dp(N+1, vector(N+1, mint(0)));
    vector sum(N+1, vector(N+1, mint(0)));
    dp[0][0] = 1, sum[1][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        for (int j = 1; j <= N; ++j) {
            dp[i][j] = sum[j][S[i]%j];
        }
        for (int j = 1; j <= N; ++j) {
            sum[j][S[i]%j] += dp[i][j-1];
        }
    }
    mint res = 0;
    for (int j = 1; j <= N; ++j) res += dp[N][j];
    cout << res << endl;
}