yukicoder No.801 エレベーター

累積和による DP 高速化のすごく面白い問題！

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問題概要

階建てのビルに 個のエレベーターがあり、 番目のエレベーターは区間 [ ] の間を動いており、区間内の任意のフロアから任意のフロアへと移動することができる (同じフロアへの移動もエレベーターを使用したとみなす)。

最初 1 階にいて、エレベーターを 回使用することで 階へと移動する方法の数を 1000000007 で割ったあまりを求めよ。

制約

• 

考えたこと

いかにも行列累乗っぽいけど、 なのでそれはない。これがもし とかだったら行列累乗で決まりだと思う！

で、やりたいことは大まかに以下のようなこと！！！

• cur[ v ] := i 回の移動で v にいるような場合の数
• next[ v ] := i + 1 回の移動で v にいるような場合の数

として、各区間 [L, R) に対して (半閉区間に補正しておく)

1. sum = cur[ L ] + cur[ L + 1 ] + ... + cur[ R - 1 ] を計算して
2. 区間 [L, R) 内の各頂点 v に対して next[ v ] += sum としたい

このうち、1 は累積和、2 はいもす法がバッチリ決まる！！！
一度の DP で、累積和もいもす法も使うのが面白い！

全体として一ステップの更新が でできるので、全体として でできる。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int MOD = 1000000007;

int main() {
    int N, M, K; cin >> N >> M >> K;
    vector<int> L(M), R(M);
    for (int i = 0; i < M; ++i) cin >> L[i] >> R[i], --L[i];

    vector<long long> cur(N+1, 0), next(N+1, 0);
    cur[0] = 1;
    for (int k = 0; k < K; ++k) {
        vector<long long> sum(N+1, 0);
        for (int i = 0; i < N; ++i) sum[i+1] = (sum[i] + cur[i]) % MOD;
        next.assign(N+1, 0);
        for (int i = 0; i < M; ++i) {
            long long add = (sum[R[i]] - sum[L[i]] + MOD) % MOD;
            next[L[i]] += add; next[L[i]] %= MOD;
            next[R[i]] += MOD - add; next[R[i]] %= MOD;
        }
        for (int i = 0; i < N; ++i) next[i+1] += next[i], next[i+1] %= MOD;
        swap(cur, next);
    }
    cout << cur[N-1] << endl;
}