戻す DP を履修して行く!!!
問題概要
個の正の整数 と正の整数 が与えられる。以下の 個のクエリに答えよ。
- 整数 が与えられる
- 以下の条件を満たす 0 以上の整数の組 () の個数を 1000000007 で割ったあまりを求めよ
制約
考えたこと
このような「N 個のうち 1 個を除外したものを解きたい」という場面では、次のようなアプローチが代表的かもしれない。
- 左右両端からの結果を求める
- 全体の解から 1 個のものを引く
後者のアプローチは単純に総和から値を引く程度の問題は 300 点問題などでよくみられる。しかし、DP でもそういうことができて、「戻す DP」と呼ばれたりする模様。
戻す DP
たとえば部分和数え上げ DP などはこんな感じの更新をする
- 品物 (値が a) を 1 個追加する前の DP 配列を dp、品物を追加後の DP 配列を ndp としたとき
- ndp[ v ] = dp[ v ] + dp[ v - a ]
このような演算を 回行った結果が最終結果となる。一方、品物を除去する方向性の更新もできる。逆変換をとると
- dp[ v ] = ndp[ v ] - dp[ v - a ]
という in-place な更新によって逆変換ができる。ここで、 回の更新を行った結果は「 個の品物をどの順序で更新したとしても等しい」ということに注意しよう。よって、 回の更新を行った DP 配列に対して、どの品物を除去しても「残しの 個の品物についての DP 解」が求められることになる。
今回の場合
今回の DP のステップは次のように書ける (更新に用いる整数を とする)。
ndp[ v ] = dp[ v ] + dp[ v - 1 ] + ... + dp[ v - A ]
と書ける。
ndp[ v - 1 ] = dp[ v - 1 ] + ... + dp[ v - A ] + dp[ v - A - 1 ]
と比較することで
ndp[ v ] = ndp[ v - 1 ] + dp[ v ] - dp[ v - A - 1 ]
と簡潔に表せる (実際の DP では更新順序に注意)。これの逆変換をとると
dp[ v ] = dp[ v - A - 1 ] + ndp[ v ] - ndp[ v - 1 ]
となる。
計算量
- 個をマージした結果を求める:
- 個それぞれを除去した結果を求める:
- 各クエリに答える:
コード
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; template<int MOD> struct Fp { long long val; constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) { if (val < 0) val += MOD; } constexpr int getmod() const { return MOD; } constexpr Fp operator - () const noexcept { return val ? MOD - val : 0; } constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; } constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; } constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; } constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; } constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept { val += r.val; if (val >= MOD) val -= MOD; return *this; } constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept { val -= r.val; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept { val = val * r.val % MOD; return *this; } constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept { long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0; while (b) { long long t = a / b; a -= t * b, swap(a, b); u -= t * v, swap(u, v); } val = val * u % MOD; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept { return this->val == r.val; } constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept { return this->val != r.val; } friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD>& x) noexcept { is >> x.val; x.val %= MOD; if (x.val < 0) x.val += MOD; return is; } friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD>& x) noexcept { return os << x.val; } friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &a, long long n) noexcept { if (n == 0) return 1; auto t = modpow(a, n / 2); t = t * t; if (n & 1) t = t * a; return t; } }; const int MOD = 1000000007; using mint = Fp<MOD>; vector<mint> add(const vector<mint> &dp, int M, int A) { vector<mint> ndp(M+1, 0); for (int v = 0; v <= M; ++v) { if (v-1 >= 0) ndp[v] += ndp[v-1]; ndp[v] += dp[v]; if (v-A-1 >= 0) ndp[v] -= dp[v-A-1]; } return ndp; } vector<mint> sub(const vector<mint> &ndp, int M, int A) { vector<mint> dp(M+1, 0); for (int v = 0; v <= M; ++v) { if (v-A-1 >= 0) dp[v] += dp[v-A-1]; dp[v] += ndp[v]; if (v-1 >= 0) dp[v] -= ndp[v-1]; } return dp; } int main() { // 入力 int N, M, Q; cin >> N >> M >> Q; vector<int> a(N); for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> a[i]; // N 個の結果を総合した結果を求める vector<mint> all(M+1, 0); all[0] = 1; for (int i = 0; i < N; ++i) all = add(all, M, a[i]); // 各 i に対して a[i] を除外した結果を求める vector<vector<mint>> res(N); for (int i = 0; i < N; ++i) res[i] = sub(all, M, a[i]); // クエリ処理 while (Q--) { int K, X; cin >> K >> X; --K; cout << res[K][M-X] << endl; } }