Project Selection がピッタリハマる問題！

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問題概要

$N$ 個の家 $1, 2, \dots, N$ がある。家 $i$ に入るためには $W$ のコストがかかるが、その代わり $A_{i}$ の利得が得られる。また、各家 $i$ に対して、次の $k_{i}$ 個の制約条件が付随している。

家 $i$ に入ることなくして、家 $c_{i, 1}$ に入ることはできない
家 $i$ に入ることなくして、家 $c_{i, 2}$ に入ることはできない
...
家 $i$ に入ることなくして、家 $c_{i, k_{i}}$ に入ることはできない

これらの制約条件を満たしながら、いくつかの家に選んで入る。それらの方法のうち、(総利得) - (総コスト) の考えられる最大値を求めよ。

制約

$2 \le N \le 100$
$c_{i, j} \gt i$

解法：Project Selection で定式化する

今回の問題は「 $N$ 個の選択肢があって、それぞれ選択するかしないかという $2^{N}$ 通りの方法の中から最適なものを選ぶ」という形式となっています。そのような問題のうち、DP ではできそうもない問題となると、Project Selection からの最小カットを疑いたくなります。

ここで、まず Project Selection 問題というフレームワークを紹介します。次のような問題です。

$N$ 個の変数 $x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N-1}$ があって、それぞれ 0 または 1 の値を取るとします。以下のようにコストが加算されるとき、その総和を最小化したいとします。

1 変数についてのコスト

$x_{i} = 0$ のとき、コスト $F_{i}$ が加算される
$x_{i} = 1$ のとき、コスト $T_{i}$ が加算される

2 変数についてのコスト

$x_{i} = 1$ かつ $x_{j} = 0$ のとき、コスト $C_{i, j}$ が加算される

今回の「典型 90 問 040」では、次のように考えられます。まず、変数 $x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N-1}$ を次のように定義します

$x_{i} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & (家 i に入るとき)\\ 0 & (家 i に入らないとき) \end{array} \right.$

このとき、最小化したいコストを次のように解釈できます。このコストの最小値を、最後に $-1$ 倍したものが答えです。

1 変数についてのコスト

$x_{i} = 0$ のとき、コスト $W - A_{i}$ が加算される ( $x_{i} = 1$ のときはコスト 0)

2 変数についてのコスト

家 $i$ に配置してある各鍵 $v$ について、 $x_{v} = 1$ かつ $x_{i} = 0$ のとき、コスト $\infty$ が加算される

まさに、先ほどの Project Selection フレームワークが使える形となっています。

Project Selection 問題の解き方については、次の記事で詳しく解説しています。

drken1215.hatenablog.com

最小カットを求めるのに Dinic 法を用いた場合、グラフの頂点数は $O(N)$ 個、辺数は $O(N^{2})$ 個であるから、計算量は $O(N^{4})$ となります。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;


// 2-variable submodular optimization
template<class COST> struct TwoVariableSubmodularOpt {
    // constructors
    TwoVariableSubmodularOpt() : N(2), S(0), T(0), OFFSET(0) {}
    TwoVariableSubmodularOpt(int n, COST inf = 0)
    : N(n), S(n), T(n + 1), OFFSET(0), INF(inf), list(n + 2) {}
    
    // initializer
    void init(int n, COST inf = 0) {
        N = n, S = n, T = n + 1;
        OFFSET = 0, INF = inf;
        list.assign(N + 2, Edge());
        pos.clear();
    }

    // add 1-Variable submodular functioin
    void add_single_cost(int xi, COST false_cost, COST true_cost) {
        assert(0 <= xi && xi < N);
        if (false_cost >= true_cost) {
            OFFSET += true_cost;
            add_edge(S, xi, false_cost - true_cost);
        } else {
            OFFSET += false_cost;
            add_edge(xi, T, true_cost - false_cost);
        }
    }
    
    // add "project selection" constraint
    // xi = T, xj = F: strictly prohibited
    void add_psp_constraint(int xi, int xj) {
        assert(0 <= xi && xi < N);
        assert(0 <= xj && xj < N);
        add_edge(xi, xj, INF);
    }
    
    // add "project selection" penalty
    // xi = T, xj = F: cost C
    void add_psp_penalty(int xi, int xj, COST C) {
        assert(0 <= xi && xi < N);
        assert(0 <= xj && xj < N);
        assert(C >= 0);
        add_edge(xi, xj, C);
    }
    
    // add both True profit
    // xi = T, xj = T: profit P (cost -P)
    void add_both_true_profit(int xi, int xj, COST P) {
        assert(0 <= xi && xi < N);
        assert(0 <= xj && xj < N);
        assert(P >= 0);
        OFFSET -= P;
        add_edge(S, xi, P);
        add_edge(xi, xj, P);
    }
    
    // add both False profit
    // xi = F, xj = F: profit P (cost -P)
    void add_both_false_profit(int xi, int xj, COST P) {
        assert(0 <= xi && xi < N);
        assert(0 <= xj && xj < N);
        assert(P >= 0);
        OFFSET -= P;
        add_edge(xj, T, P);
        add_edge(xi, xj, P);
    }
    
    // add general 2-variable submodular function
    // (xi, xj) = (F, F): A, (F, T): B
    // (xi, xj) = (T, F): C, (T, T): D
    void add_submodular_function(int xi, int xj, COST A, COST B, COST C, COST D) {
        assert(0 <= xi && xi < N);
        assert(0 <= xj && xj < N);
        assert(B + C >= A + D);  // assure submodular function
        OFFSET += A;
        add_single_cost(xi, 0, D - B);
        add_single_cost(xj, 0, B - A);
        add_psp_penalty(xi, xj, B + C - A - D);
    }
    
    // add all True profit
    // y = F: not gain profit (= cost is P), T: gain profit (= cost is 0)
    // y: T, xi: F is prohibited
    void add_all_true_profit(const vector<int> &xs, COST P) {
        assert(P >= 0);
        int y = (int)list.size();
        list.resize(y + 1);
        OFFSET -= P;
        add_edge(S, y, P);
        for (auto xi : xs) {
            assert(xi >= 0 && xi < N);
            add_edge(y, xi, INF);
        }
    }
    
    // add all False profit
    // y = F: gain profit (= cost is 0), T: not gain profit (= cost is P)
    // xi = T, y = F is prohibited
    void add_all_false_profit(const vector<int> &xs, COST P) {
        assert(P >= 0);
        int y = (int)list.size();
        list.resize(y + 1);
        OFFSET -= P;
        add_edge(y, T, P);
        for (auto xi : xs) {
            assert(xi >= 0 && xi < N);
            add_edge(xi, y, INF);
        }
    }
    
    // solve
    COST solve() {
        return dinic() + OFFSET;
    }
    
    // reconstrcut the optimal assignment
    vector<bool> reconstruct() {
        vector<bool> res(N, false), seen(list.size(), false);
        queue<int> que;
        seen[S] = true;
        que.push(S);
        while (!que.empty()) {
            int v = que.front();
            que.pop();
            for (const auto &e : list[v]) {
                if (e.cap && !seen[e.to]) {
                    if (e.to < N) res[e.to] = true;
                    seen[e.to] = true;
                    que.push(e.to);
                }
            }
        }
        return res;
    }
    
    // debug
    friend ostream& operator << (ostream& s, const TwoVariableSubmodularOpt &G) {
        const auto &edges = G.get_edges();
        for (const auto &e : edges) s << e << endl;
        return s;
    }
    
private:
    // edge class
    struct Edge {
        // core members
        int rev, from, to;
        COST cap, icap, flow;
        
        // constructor
        Edge(int r, int f, int t, COST c)
        : rev(r), from(f), to(t), cap(c), icap(c), flow(0) {}
        void reset() { cap = icap, flow = 0; }
        
        // debug
        friend ostream& operator << (ostream& s, const Edge& E) {
            return s << E.from << "->" << E.to << '(' << E.flow << '/' << E.icap << ')';
        }
    };
    
    // inner data
    int N, S, T;
    COST OFFSET, INF;
    vector<vector<Edge>> list;
    vector<pair<int,int>> pos;
    
    // add edge
    Edge &get_rev_edge(const Edge &e) {
        if (e.from != e.to) return list[e.to][e.rev];
        else return list[e.to][e.rev + 1];
    }
    Edge &get_edge(int i) {
        return list[pos[i].first][pos[i].second];
    }
    const Edge &get_edge(int i) const {
        return list[pos[i].first][pos[i].second];
    }
    vector<Edge> get_edges() const {
        vector<Edge> edges;
        for (int i = 0; i < (int)pos.size(); ++i) {
            edges.push_back(get_edge(i));
        }
        return edges;
    }
    void add_edge(int from, int to, COST cap) {
        if (!cap) return;
        pos.emplace_back(from, (int)list[from].size());
        list[from].push_back(Edge((int)list[to].size(), from, to, cap));
        list[to].push_back(Edge((int)list[from].size() - 1, to, from, 0));
    }
    
    // Dinic's algorithm
    COST dinic(COST limit_flow) {
        COST current_flow = 0;
        vector<int> level((int)list.size(), -1), iter((int)list.size(), 0);
        
        // Dinic BFS
        auto bfs = [&]() -> void {
            level.assign((int)list.size(), -1);
            level[S] = 0;
            queue<int> que;
            que.push(S);
            while (!que.empty()) {
                int v = que.front();
                que.pop();
                for (const Edge &e : list[v]) {
                    if (level[e.to] < 0 && e.cap > 0) {
                        level[e.to] = level[v] + 1;
                        if (e.to == T) return;
                        que.push(e.to);
                    }
                }
            }
        };
        
        // Dinic DFS
        auto dfs = [&](auto self, int v, COST up_flow) {
            if (v == T) return up_flow;
            COST res_flow = 0;
            for (int &i = iter[v]; i < (int)list[v].size(); ++i) {
                Edge &e = list[v][i], &re = get_rev_edge(e);
                if (level[v] >= level[e.to] || e.cap == 0) continue;
                COST flow = self(self, e.to, min(up_flow - res_flow, e.cap));
                if (flow <= 0) continue;
                res_flow += flow;
                e.cap -= flow, e.flow += flow;
                re.cap += flow, re.flow -= flow;
                if (res_flow == up_flow) break;
            }
            return res_flow;
        };
        
        // flow
        while (current_flow < limit_flow) {
            bfs();
            if (level[T] < 0) break;
            iter.assign((int)iter.size(), 0);
            while (current_flow < limit_flow) {
                COST flow = dfs(dfs, S, limit_flow - current_flow);
                if (!flow) break;
                current_flow += flow;
            }
        }
        return current_flow;
    };
    COST dinic() {
        return dinic(numeric_limits<COST>::max());
    }
};


// 競プロ典型 90 問 040 - Get More Money（★7）
int main() {
    // 入力
    int N, W;
    cin >> N >> W;
    vector<int> A(N);
    vector<vector<int>> c(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> A[i];
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        int k;
        cin >> k;
        c[i].resize(k);
        for (int j = 0; j < k; ++j) cin >> c[i][j], --c[i][j];
    }
    
    // 家 i に入らない: F, 家 i に入る: T
    const long long INF = 1LL<<50;
    TwoVariableSubmodularOpt<long long> tvs(N, INF);
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        tvs.add_single_cost(i, 0, W - A[i]);
    }
    
    // 家 v in c[i] に入るためには家 i に入る必要がある
    // つまり、v: T, i: F は禁止
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        for (auto v : c[i]) {
            tvs.add_psp_constraint(v, i);
        }
    }
    cout << -tvs.solve() << endl;
}

けんちょんの競プロ精進記録

競プロの精進記録や小ネタを書いていきます

競プロ典型 90 問 040 - Get More Money（★7）

問題概要

制約

解法：Project Selection で定式化する

1 変数についてのコスト

2 変数についてのコスト

1 変数についてのコスト

2 変数についてのコスト

コード