これかーーー数学ゲーじゃないかと物議を醸した問題。でも普通にいい問題だと思う！！

問題概要

底面が一辺 $a$ cm の正方形であり、高さが $b$ cm であるような直方体型の水筒に、体積 $x$ cm3 の水を入れる。

底面の正方形の一辺を軸として、この水筒を徐々に傾ける。水を溢れさせずに水筒を傾けることができる最大の角度を求めよ。

考えたこと

確かに $O(1)$ で解ける数学ゲーだけど、問題のシチュエーション自体はゲームプログラミングで部分的に出てきそうな雰囲気だし、教育的な問題だと思う。それに、 $O(1)$ で殴れなくても、二分探索する解法もある。

ところで、この問題は三次元の問題だけど、本質的には二次元の問題といえる。 $x$ はあらかじめ $a$ で割って、立方体の側面に関する二次元幾何の問題として解くことにする。つまり、あらかじめ

$x = x/a$

としておく。さて、水がこぼれるシチュエーションは大きく分けて二通りある。

このうちのどちらのシチュエーションになるのかについては簡単に求めることができる。

前者： $x \gt \frac{ab}{2}$ のとき
後者： $x \le \frac{ab}{2}$ のとき

幾何をする

幾何をしてみると、下図のようになる。前者については

白い直角三角形のところの面積は $ab - x$ となる
よって、白い直角三角形の、長さ $a$ の辺以外のもう一つの辺の長さは $\frac{2(ab-x)}{a}$ となる

という風に求められる。後者についても同様に

水色の直角三角形の面積は $x$ である
よって、水色の直角三角形の、長さ $b$ の辺以外のもう一つの辺の長さは $\frac{2x}{b}$ となる

という風に求められる。

この図から言えることは、

前者については、 $\tan \theta = \frac{\frac{2(ab-x)}{a}}{a} = \frac{2(ab-x)}{a^{2}}$
後者については、 $\tan \theta = \frac{b}{\frac{2x}{b}} = \frac{b^{2}}{2x}$

ということがわかる。よって求める角度 $\theta$ は、

前者： $\theta = {\rm atan} \frac{2(ab-x)}{a^{2}}$
後者： $\theta = {\rm atan} \frac{b^{2}}{2x}$

となる。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    const double PI = acos(-1.0);
    double a, b, x;
    cin >> a >> b >> x;
    x /= a;
    cout << fixed << setprecision(10);
    if (x > a*b/2) cout << atan2((a*b-x)*2, a*a) * 180 / PI << endl;
    else cout << atan2(b*b, x*2) * 180 / PI << endl;
}

別解：二分探索

角度を $\theta$ としたときの、水の面積を $f(\theta)$ とすると、この問題は

$f(\theta) = x$ という方程式を解け

という問題だと言える。このような方程式の解を求める方法として、二分探索はとても有力だ。あとは素直に、関数 $f(\theta)$ を実装すれば OK！！！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    const double PI = acos(-1.0);
    double a, b, x;
    cin >> a >> b >> x;
    x /= a;
    auto f = [&](double t) {
        // 前者
        if (tan(t) <= b/a) return a*b - a*(a*tan(t))/2;
        // 後者
        else return b*(b/tan(t))/2;
    };
    double left = 0, right = PI/2;
    for (int iter = 0; iter < 100; ++iter) {
        double theta = (left + right) / 2;
        if (f(theta) >= x) left = theta;
        else right = theta;
    }
    cout << fixed << setprecision(10) << left*180/PI << endl;
}