どんな風に操作しようとも、毎回「左右のうちの何個選べるか」が変わらない！！

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問題概要

$1, 2, \dots, N$ の順列 $a_{1}, \dots, a_{N}$ と、空の配列 $c$ が与えられる。これらに対して以下の操作を $K$ 回行うことで、配列 $c$ が $b_{1}, \dots, b_{K}$ に一致した状態にしたい。

そのような操作方法が何通りあるか、998244353 で割ったあまりを求めよ。

順列の要素 $a_{i}$ を一つ選ぶ
その要素を削除する
$a_{i-1}$ か $a_{i+1}$ のうちのいずれか ( $a_{i}$ が両端の場合は片方のみ) を $c$ の末尾に追加する

制約

$1 \le K \lt N \le 2 \times 10^{5}$
$b$ の要素はすべて互いに相異なる

考えたこと

まず、 $a_{i} = i$ としてよい。そうすると少し考えやすくなりそう。それに応じて $b$ も適切に変換しておく。具体的には、次のようにすれば OK。

$a$ の逆順列を $a'$ とする
$b_{i} = a'_{b_{i}}$ とする

まず $v = b_{0}$ に対しては、 $a_{j} = v$ となる $j$ に対して $a_{j-1}, a_{j+1}$ のうち、 $b$ の 1 番目以降に含まれないものを削除できる。

一般に $v = b_{i}$ に対しては、 $a_{j} = v$ となる $j$ に対して $a_{j-1}, a_{j+1}$ のうち、 $b$ の $i+1$ 番目以降に含まれないものを削除できる (その個数を $i$ ごとに掛けていけば OK)。

ここで、削除履歴によっては、 $a_{j} = v$ となる $j$ が $a$ の内点であったものが両端になる可能性が気になる。しかし $b$ が distinct であることから、その可能性がないことがわかる。

計算量は $O(N)$ 。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() const { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        if (n < 0) return modpow(modinv(r), -n);
        auto t = modpow(r, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * r;
        return t;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        return Fp<MOD>(u);
    }
};

const int MOD = 998244353;
using mint = Fp<MOD>;

int main() {
    int T; cin >> T;
    while (T--) {
        int N, K;
        cin >> N >> K;
        vector<int> P(N), ip(N), B(K);
        for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> P[i], --P[i], ip[P[i]] = i;
        for (int i = 0; i < K; ++i) {
            cin >> B[i];
            --B[i];
            B[i] = ip[B[i]];
        }
        vector<int> exist(N, 0);
        for (int i = 0; i < K; ++i) exist[B[i]] = 1;
        mint res = 1;
        for (auto b : B) {
            exist[b] = 0;
            int num = 0;
            if (b-1 >= 0 && !exist[b-1]) ++num;
            if (b+1 < N && !exist[b+1]) ++num;
            res *= num;
        }
        cout << res << endl;
    }
}

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Codeforces Round #681 (Div. 1) B. Identify the Operations (R1800)

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制約

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