2023-08-27

AtCoder ABC 317 G - Rearranging (橙色, 600 点)

AtCoder AtCoder600点 ABC-G 橙色diff 構築 Yes/No判定問題復元フローグラフ【問題集】フローのステップアップ順列を題材とした問題解空間:O(N!)通りの選択肢順列の最適化問題マッチング二部マッチング Hallの結婚定理操作操作:permute 数学的帰納法に基づく考察彩色問題二部グラフ二次元グリッド

面白かった

問題へのリンク

問題概要

$N \times M$ のグリッドがある。各マスには数値が書かれている。 $NM$ 個の数値を集めると、 $1, 2, \dots, N$ が $M$ 個ずつある。

今、各行について、その $M$ 個の数値を自由に並び替えていく。

その結果として、すべての列が $1, 2, \dots, N$ の順列であるようにすることが可能かどうかを判定し、可能ならば操作後のグリッドを出力せよ。

制約

$1 \le N, M \le 100$

解法

結論から言えば、 $M$ 回、二部マッチング問題を解けばよい。

まず補題として、どんなグリッドにおいても、左端を $1, 2, \dots, N$ の順列にすることが可能であることに注意する (Hall の定理から従う)。

そうすると残りは $N \times (M-1)$ のグリッドの問題になるが、帰納法的に左端を $1, 2, \dots, N$ の順列にすることが可能である。

たとえば、次の入力を考える ( $N = 4$ 、 $M = 5$ )。

左側に行番号 $1, 2, 3, 4$ 、右側に数値 $1, 2, 3, 4$ を表すノードを用意した二部グラフを考えて、行 $i$ に数値 $j$ が存在する場合に辺 $(i, j)$ を張ることにする。このグラフの完全マッチングを求める。そして左端にその数値を寄せていく。

高度な別解

今回の問題は、 $2k$ -正則グラフを $k$ 個の完全マッチングに分解する問題と言える。Noga Alon による、高速な二部グラフの辺彩色アルゴリズムがあるようで、それを用いると高速に解けるみたい。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// edge class (for network-flow)
template<class FLOWTYPE> struct FlowEdge {
    // core members
    int rev, from, to;
    FLOWTYPE cap, icap, flow;
    
    // constructor
    FlowEdge(int r, int f, int t, FLOWTYPE c)
    : rev(r), from(f), to(t), cap(c), icap(c), flow(0) {}
    void reset() { cap = icap, flow = 0; }
    
    // debug
    friend ostream& operator << (ostream& s, const FlowEdge& E) {
        return s << E.from << "->" << E.to << '(' << E.flow << '/' << E.icap << ')';
    }
};

// graph class (for network-flow)
template<class FLOWTYPE> struct FlowGraph {
    // core members
    vector<vector<FlowEdge<FLOWTYPE>>> list;
    vector<pair<int,int>> pos;  // pos[i] := {vertex, order of list[vertex]} of i-th edge
    
    // constructor
    FlowGraph(int n = 0) : list(n) { }
    void init(int n = 0) {
        list.assign(n, FlowEdge<FLOWTYPE>());
        pos.clear();
    }
    
    // getter
    vector<FlowEdge<FLOWTYPE>> &operator [] (int i) {
        return list[i];
    }
    const vector<FlowEdge<FLOWTYPE>> &operator [] (int i) const {
        return list[i];
    }
    size_t size() const {
        return list.size();
    }
    FlowEdge<FLOWTYPE> &get_rev_edge(const FlowEdge<FLOWTYPE> &e) {
        if (e.from != e.to) return list[e.to][e.rev];
        else return list[e.to][e.rev + 1];
    }
    FlowEdge<FLOWTYPE> &get_edge(int i) {
        return list[pos[i].first][pos[i].second];
    }
    const FlowEdge<FLOWTYPE> &get_edge(int i) const {
        return list[pos[i].first][pos[i].second];
    }
    vector<FlowEdge<FLOWTYPE>> get_edges() const {
        vector<FlowEdge<FLOWTYPE>> edges;
        for (int i = 0; i < (int)pos.size(); ++i) {
            edges.push_back(get_edge(i));
        }
        return edges;
    }
    
    // change edges
    void reset() {
        for (int i = 0; i < (int)list.size(); ++i) {
            for (FlowEdge<FLOWTYPE> &e : list[i]) e.reset();
        }
    }
    void change_edge(FlowEdge<FLOWTYPE> &e, FLOWTYPE new_cap, FLOWTYPE new_flow) {
        FlowEdge<FLOWTYPE> &re = get_rev_edge(e);
        e.cap = new_cap - new_flow, e.icap = new_cap, e.flow = new_flow;
        re.cap = new_flow;
    }
    
    // add_edge
    void add_edge(int from, int to, FLOWTYPE cap) {
        pos.emplace_back(from, (int)list[from].size());
        list[from].push_back(FlowEdge<FLOWTYPE>((int)list[to].size(), from, to, cap));
        list[to].push_back(FlowEdge<FLOWTYPE>((int)list[from].size() - 1, to, from, 0));
    }

    // debug
    friend ostream& operator << (ostream& s, const FlowGraph &G) {
        const auto &edges = G.get_edges();
        for (const auto &e : edges) s << e << endl;
        return s;
    }
};

// Dinic
template<class FLOWTYPE> FLOWTYPE Dinic
 (FlowGraph<FLOWTYPE> &G, int s, int t, FLOWTYPE limit_flow)
{
    FLOWTYPE current_flow = 0;
    vector<int> level((int)G.size(), -1), iter((int)G.size(), 0);
    
    // Dinic BFS
    auto bfs = [&]() -> void {
        level.assign((int)G.size(), -1);
        level[s] = 0;
        queue<int> que;
        que.push(s);
        while (!que.empty()) {
            int v = que.front();
            que.pop();
            for (const FlowEdge<FLOWTYPE> &e : G[v]) {
                if (level[e.to] < 0 && e.cap > 0) {
                    level[e.to] = level[v] + 1;
                    if (e.to == t) return;
                    que.push(e.to);
                }
            }
        }
    };
    
    // Dinic DFS
    auto dfs = [&](auto self, int v, FLOWTYPE up_flow) {
        if (v == t) return up_flow;
        FLOWTYPE res_flow = 0;
        for (int &i = iter[v]; i < (int)G[v].size(); ++i) {
            FlowEdge<FLOWTYPE> &e = G[v][i], &re = G.get_rev_edge(e);
            if (level[v] >= level[e.to] || e.cap == 0) continue;
            FLOWTYPE flow = self(self, e.to, min(up_flow - res_flow, e.cap));
            if (flow <= 0) continue;
            res_flow += flow;
            e.cap -= flow, e.flow += flow;
            re.cap += flow, re.flow -= flow;
            if (res_flow == up_flow) break;
        }
        return res_flow;
    };
    
    // flow
    while (current_flow < limit_flow) {
        bfs();
        if (level[t] < 0) break;
        iter.assign((int)iter.size(), 0);
        while (current_flow < limit_flow) {
            FLOWTYPE flow = dfs(dfs, s, limit_flow - current_flow);
            if (!flow) break;
            current_flow += flow;
        }
    }
    return current_flow;
};

template<class FLOWTYPE> FLOWTYPE Dinic(FlowGraph<FLOWTYPE> &G, int s, int t) {
    return Dinic(G, s, t, numeric_limits<FLOWTYPE>::max());
}

int main() {
    int N, M;
    cin >> N >> M;
    vector<vector<int>> num(N, vector<int>(N, 0));
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        for (int j = 0; j < M; ++j) {
            int a;
            cin >> a;
            --a;
            ++num[i][a];
        }
    }
    
    vector<vector<int>> res(N, vector<int>(M, 0));
    for (int c = 0; c < M; ++c) {
        int s = N*2, t = N*2+1;
        FlowGraph<int> G(N*2+2);
        for (int i = 0; i < N; ++i) G.add_edge(s, i, 1), G.add_edge(i+N, t, 1);
        for (int r = 0; r < N; ++r) {
            for (int v = 0; v < N; ++v) {
                if (num[r][v] > 0) G.add_edge(r, v+N, 1);
            }
        }
        int max_flow = Dinic(G, s, t);
        const auto &edges = G.get_edges();
        for (const auto &e : edges) {
            if (e.flow == 1 && e.from != s && e.to != t) {
                res[e.from][c] = e.to-N+1;
                --num[e.from][e.to-N];
            }
        }
    }
    
    cout << "Yes" << endl;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        for (int j = 0; j < M; ++j) cout << res[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }
}

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