面積二等分系問題、こないだ ICPC アジア 2019 にも出ていた。そっちは超むずいけど、こっちは簡単。

問題概要

$N$ 頂点の凸多角形が与えられる。以下の条件を満たす点 P を求めよ:

P を通る任意の直線によって、凸多角形は面積の等しい 2 つの凸多角形に分断される

制約

$3 \le N \le 50$

考えたこと

凸多角形が点対称になること...が条件なのだが、もう少しちゃんと考える。

P を通るある直線と多角形との交点とを A, B として、その直線を P を中心に微小角度回転させた直線と多角形との交点を C, D として

△PAC の面積 = △PBD の面積
つまり、PA×PC = PB×PD

となっていることが必要なことがわかる。ここで、角APC や角 BPD を θ とするが、これが極めて小さいことに注意する。

よって、θ を極限まで 0 に近づけると、PC = PA、PB = PD とみなすことができて

PA² = PB²、よって PA = PB

となることがわかる (感覚的な議論をしたが、この辺りε-δ論法によって厳密に議論が可能である)。

以上から、凸多角形が点対称であることが必要条件であることがわかった。逆に点対称なら、 $N$ は偶数なので、例えば 0 番目の頂点と N/2 番目の頂点との中点 (重心でもある) をとると、それが点対称の中心となっていて、答えになっている。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <algorithm>
using namespace std;

using DD = double;
const DD INF = 1LL<<60;      // to be set appropriately
const DD EPS = 1e-10;        // to be set appropriately
const DD PI = acos(-1.0);
DD torad(int deg) {return (DD)(deg) * PI / 180;}
DD todeg(DD ang) {return ang * 180 / PI;}

/* Point */
struct Point {
    DD x, y;
    Point(DD x = 0.0, DD y = 0.0) : x(x), y(y) {}
    friend ostream& operator << (ostream &s, const Point &p) {return s << '(' << p.x << ", " << p.y << ')';}
};
inline Point operator + (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x + q.x, p.y + q.y);}
inline Point operator - (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x - q.x, p.y - q.y);}
inline Point operator * (const Point &p, DD a) {return Point(p.x * a, p.y * a);}
inline Point operator * (DD a, const Point &p) {return Point(a * p.x, a * p.y);}
inline Point operator * (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x * q.x - p.y * q.y, p.x * q.y + p.y * q.x);}
inline Point operator / (const Point &p, DD a) {return Point(p.x / a, p.y / a);}
inline Point conj(const Point &p) {return Point(p.x, -p.y);}
inline Point rot(const Point &p, DD ang) {return Point(cos(ang) * p.x - sin(ang) * p.y, sin(ang) * p.x + cos(ang) * p.y);}
inline Point rot90(const Point &p) {return Point(-p.y, p.x);}
inline DD cross(const Point &p, const Point &q) {return p.x * q.y - p.y * q.x;}
inline DD dot(const Point &p, const Point &q) {return p.x * q.x + p.y * q.y;}
inline DD norm(const Point &p) {return dot(p, p);}
inline DD abs(const Point &p) {return sqrt(dot(p, p));}
inline DD amp(const Point &p) {DD res = atan2(p.y, p.x); if (res < 0) res += PI*2; return res;}
inline bool eq(const Point &p, const Point &q) {return abs(p - q) < EPS;}
inline bool operator < (const Point &p, const Point &q) {return (abs(p.x - q.x) > EPS ? p.x < q.x : p.y < q.y);}
inline bool operator > (const Point &p, const Point &q) {return (abs(p.x - q.x) > EPS ? p.x > q.x : p.y > q.y);}
inline Point operator / (const Point &p, const Point &q) {return p * conj(q) / norm(q);}

void solve(const vector<Point> &vp) {
    int N = (int)vp.size();
    if (N & 1) { cout << "NA" << endl; return; }
    auto res = (vp[0] + vp[N/2]) / 2;
    for (int i = 0; i < N/2; ++i) {
        if (abs(abs(res - vp[i]) - abs(res - vp[i+N/2])) > EPS) {
            cout << "NA" << endl;
            return;
        }
    }
    cout << fixed << setprecision(10) << res.x << " " << res.y << endl;
    return;
}

int main() {
    int N; cin >> N;
    vector<Point> vp(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> vp[i].x >> vp[i].y;
    solve(vp);
}

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AOJ 2442 Convex Cut (JAG 夏合宿 2012 day3b-C) (400 点)

問題概要

制約

考えたこと