円と円の共通部分の面積！！！
問題概要
円が 2 つ与えられる。それらの共通部分の面積を求めよ。
制約
- 座標の絶対値が
以下
解法
「接する場合」を除くと、以下の 3 パターンにわかれる
- 完全に disjoint (面積は 0)
- 2 点で交わる
- 一方が他方に包含される (面積は包含された円の面積)
このうちの 2 番目の場合が色々と大変になる。円と円の共通部分は
- 「扇型から二等辺三角形を除いたもの」 × 2
みたいなイメージなんだけど、2 円の大きさと配置によっては「中心角 180 度超の扇型に二等辺三角形をくっつけたもの」という形になることがある。
でも、二等辺三角形の面積を符号付きで表せば、統一的に扱える。あと、使う機会があるかどうかはわからないけどライブラリ化した！
#include <iostream> #include <vector> #include <cmath> #include <iomanip> using namespace std; //////////////////////////// // 基本要素 (点, 線分, 円) //////////////////////////// using DD = long double; const DD INF = 1LL<<60; // to be set appropriately const DD EPS = 1e-6; // to be set appropriately const DD PI = acosl(-1.0); DD torad(int deg) {return (DD)(deg) * PI / 180;} DD todeg(DD ang) {return ang * 180 / PI;} /* Point */ struct Point { DD x, y; Point(DD x = 0.0, DD y = 0.0) : x(x), y(y) {} friend ostream& operator << (ostream &s, const Point &p) {return s << '(' << p.x << ", " << p.y << ')';} }; inline Point operator + (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x + q.x, p.y + q.y);} inline Point operator - (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x - q.x, p.y - q.y);} inline Point operator * (const Point &p, DD a) {return Point(p.x * a, p.y * a);} inline Point operator * (DD a, const Point &p) {return Point(a * p.x, a * p.y);} inline Point operator * (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x * q.x - p.y * q.y, p.x * q.y + p.y * q.x);} inline Point operator / (const Point &p, DD a) {return Point(p.x / a, p.y / a);} inline Point conj(const Point &p) {return Point(p.x, -p.y);} inline Point rot(const Point &p, DD ang) {return Point(cos(ang) * p.x - sin(ang) * p.y, sin(ang) * p.x + cos(ang) * p.y);} inline Point rot90(const Point &p) {return Point(-p.y, p.x);} inline DD cross(const Point &p, const Point &q) {return p.x * q.y - p.y * q.x;} inline DD dot(const Point &p, const Point &q) {return p.x * q.x + p.y * q.y;} inline DD norm(const Point &p) {return dot(p, p);} inline DD abs(const Point &p) {return sqrt(dot(p, p));} inline DD amp(const Point &p) {DD res = atan2(p.y, p.x); if (res < 0) res += PI*2; return res;} inline bool eq(const Point &p, const Point &q) {return abs(p - q) < EPS;} inline bool operator < (const Point &p, const Point &q) {return (abs(p.x - q.x) > EPS ? p.x < q.x : p.y < q.y);} inline bool operator > (const Point &p, const Point &q) {return (abs(p.x - q.x) > EPS ? p.x > q.x : p.y > q.y);} inline Point operator / (const Point &p, const Point &q) {return p * conj(q) / norm(q);} /* Line */ struct Line : vector<Point> { Line(Point a = Point(0.0, 0.0), Point b = Point(0.0, 0.0)) { this->push_back(a); this->push_back(b); } friend ostream& operator << (ostream &s, const Line &l) {return s << '{' << l[0] << ", " << l[1] << '}';} }; /* Circle */ struct Circle : Point { DD r; Circle(Point p = Point(0.0, 0.0), DD r = 0.0) : Point(p), r(r) {} friend ostream& operator << (ostream &s, const Circle &c) {return s << '(' << c.x << ", " << c.y << ", " << c.r << ')';} }; /////////////////////// // 面積アルゴリズム /////////////////////// // 多角形の符号付面積 DD CalcArea(const vector<Point> &pol) { DD res = 0.0; for (int i = 0; i < pol.size(); ++i) { res += cross(pol[i], pol[(i+1)%pol.size()]); } return res/2.0L; } // 円と円の共通部分の面積 DD calc(const Circle &p, const Circle &q) { DD d = abs(p - q); if (d >= p.r + q.r - EPS) return 0; else if (d <= abs(p.r - q.r) + EPS) return min(p.r, q.r) * min(p.r, q.r) * PI; DD pcos = (p.r*p.r + d*d - q.r*q.r) / (p.r*d*2); DD pang = acosl(pcos); DD parea = p.r*p.r*pang - p.r*p.r*sin(pang*2)/2; DD qcos = (q.r*q.r + d*d - p.r*p.r) / (q.r*d*2); DD qang = acosl(qcos); DD qarea = q.r*q.r*qang - q.r*q.r*sin(qang*2)/2; return parea + qarea; } int main() { Circle p, q; while (cin >> p.x >> p.y >> p.r >> q.x >> q.y >> q.r) { cout << fixed << setprecision(15) << calc(p, q) << endl; } }
