何をしたらよいかがすぐに見えてくる典型だけど、かなり手こずった
問題概要
整数 があたえられる。
のグリッドから 個を選んでコマを置く 通りの方法それぞれに対して
- 通りのコマにペアそれぞれについてのマンハッタン距離の総和
を求め、その総和を求めよ (1000000007 で割ったあまりで)。
制約
各要素に注目
この手の「A 全体を調べたときのの B の総和」みたいな問題では、やるべきことはもうほぼ決まっている。これを B 全体を動かすのではなく、B の各要素 b ごとに A 全体を調べたときの総和を b ごとに累計するのだ。今回の問題で言えば
個のマスのペアそれぞれについて、そのマンハッタン距離が何回合計されるかを考える
という風に考えると見通しがよくなる。さて、まずはこの回数自体はすぐにわかる。すなわち 個選ぶうちの 個が決まっているので、残りを選べばよく
- 回
である。よって問題は、
マスから 個選ぶペアそれぞれについてのマンハッタン距離の総和を求めよ
という問題に帰着されたのだ (この答えに を掛ければよい)
x 軸と y 軸を独立に
しかしまだ、このままでは の計算時間がかかってしまう。ここで、次なる方針は
- x 軸方向と y 軸方向とに分けて考える
というもの。マンハッタン距離に関する問題でしばしば見られる。 通りのうち、
- x 軸方向の距離が
- y 軸方向の距離が
となっているものが何通りあるかを数えることにする。まず
- x 軸方向が 通り
- y 軸方向が 通り
あり、 も も でない場合にはさらに 倍になる。よって
- も も でないとき、
- そうでないとき
を各 に対して合計すれば OK。
#include <iostream> #include <vector> using namespace std; // modint: mod 計算を int を扱うように扱える構造体 template<int MOD> struct Fp { long long val; constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) { if (val < 0) v += MOD; } constexpr int getmod() { return MOD; } constexpr Fp operator - () const noexcept { return val ? MOD - val : 0; } constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; } constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; } constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; } constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; } constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept { val += r.val; if (val >= MOD) val -= MOD; return *this; } constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept { val -= r.val; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept { val = val * r.val % MOD; return *this; } constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept { long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0; while (b) { long long t = a / b; a -= t * b; swap(a, b); u -= t * v; swap(u, v); } val = val * u % MOD; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept { return this->val == r.val; } constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept { return this->val != r.val; } friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD>& x) noexcept { return os << x.val; } friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD>& x) noexcept { return is >> x.val; } friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &a, long long n) noexcept { if (n == 0) return 1; auto t = modpow(a, n / 2); t = t * t; if (n & 1) t = t * a; return t; } }; // 二項係数ライブラリ template<class T> struct BiCoef { vector<T> fact_, inv_, finv_; constexpr BiCoef() {} constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) { init(n); } constexpr void init(int n) noexcept { fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1); int MOD = fact_[0].getmod(); for(int i = 2; i < n; i++){ fact_[i] = fact_[i-1] * i; inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i); finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i]; } } constexpr T com(int n, int k) const noexcept { if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0; return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k]; } constexpr T fact(int n) const noexcept { if (n < 0) return 0; return fact_[n]; } constexpr T inv(int n) const noexcept { if (n < 0) return 0; return inv_[n]; } constexpr T finv(int n) const noexcept { if (n < 0) return 0; return finv_[n]; } }; const int MOD = 1000000007; using mint = Fp<MOD>; BiCoef<mint> bc; int main() { long long N, M, K; cin >> N >> M >> K; bc.init(510000); mint sum = 0; for (int i = 0; i <= N-1; ++i) { for (int j = 0; j <= M-1; ++j) { mint tmp = mint(N - i) * mint(M - j) * mint(i + j); if (i != 0 && j != 0) tmp *= 2; sum += tmp; } } cout << sum * bc.com(N*M-2, K-2) << endl; }