AtCoder ABC 323 E - Playlist (水色, 450 点)

よくある区間分割の DP だけど、それでよいことに思い至るのが難しいかもしれない。

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問題概要

曲あって、それぞれの曲の長さは である。

今、時刻 0 から開始して「曲を一様ランダムに流し、それが終わったらまた一様ランダムに曲を選択して流す」ことを繰り返していく。

時刻 の瞬間に曲 1 が流れている確率を mod 998244353 で求めよ。

制約

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考えたこと

時刻 の瞬間に曲 1 が流れるための条件は、次のように記述できる。

---

時刻 の瞬間になんらかの曲が終了して、

• であって
• その瞬間に曲 1 が再生される (確率 )

---

よって、次の値が求められればよい (DP する)。

dp[t] ← 時刻 の瞬間にちょうどなんらかの曲が終了する確率

これが求められれば となる各 に対して

dp[t]

を足していけばよい。

DP

DP の更新式は次のように書ける。

---

各曲 に対して、 ならば

dp[t] += dp[t - T[i]] / N

---

初期値は dp[0] = 1 とする。この更新式によって解ける。

計算量

DP の部分がボトルネックであり、全体の計算量は となる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;


// modint
template<int MOD> struct Fp {
    // inner value
    long long val;
    
    // constructor
    constexpr Fp() : val(0) { }
    constexpr Fp(long long v) : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr long long get() const { return val; }
    constexpr int get_mod() const { return MOD; }
    
    // arithmetic operators
    constexpr Fp operator + () const { return Fp(*this); }
    constexpr Fp operator - () const { return Fp(0) - Fp(*this); }
    constexpr Fp operator + (const Fp &r) const { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp &r) const { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp &r) const { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp &r) const { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp &r) {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp &r) {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp &r) {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp &r) {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp pow(long long n) const {
        Fp res(1), mul(*this);
        while (n > 0) {
            if (n & 1) res *= mul;
            mul *= mul;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    constexpr Fp inv() const {
        Fp res(1), div(*this);
        return res / div;
    }

    // other operators
    constexpr bool operator == (const Fp &r) const {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp &r) const {
        return this->val != r.val;
    }
    constexpr Fp& operator ++ () {
        ++val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -- () {
        if (val == 0) val += MOD;
        --val;
        return *this;
    }
    constexpr Fp operator ++ (int) const {
        Fp res = *this;
        ++*this;
        return res;
    }
    constexpr Fp operator -- (int) const {
        Fp res = *this;
        --*this;
        return res;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD> &x) {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD> &x) {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> pow(const Fp<MOD> &r, long long n) {
        return r.pow(n);
    }
    friend constexpr Fp<MOD> inv(const Fp<MOD> &r) {
        return r.inv();
    }
};


int main() {
    const int MOD = 998244353;
    using mint = Fp<MOD>;
    
    int N, X;
    cin >> N >> X;
    vector<int> T(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> T[i];
    
    vector<mint> dp(X + 1, 0);
    dp[0] = 1;
    for (int t = 1; t <= X; ++t) {
        for (auto ti : T) {
            if (t - ti >= 0) dp[t] += dp[t - ti] / N;
        }
    }
    mint res = 0;
    for (int t = 0; t <= X; ++t) {
        if (t + T[0] >= X + 1) res += dp[t] / N;
    }
    cout << res << endl;
}