けんちょんの競プロ精進記録

競プロの精進記録や小ネタを書いていきます

yukicoder No.226 0-1パズル

yukicoder けんちょん自作問題 0と1の問題 考察：必要条件を列挙して十分性を示す 数え上げ問題 ワイルドカード問題 制約条件:長方形領域 考察：操作・条件・目的関数を言い換える Greedy：先に進むほど新たな選択肢が挿入される 包除原理 考察：パリティに着目する 各地点について自由度を掛け算していく 制約条件:長方形の4頂点についての条件 二次元グリッド

ずっと前にこれを作問して出題していたので記録を。
時は流れて AGC 026 D - Histogram Coloring でよく似た設定の問題が出たときはビックリした (実際はそんなに似てない)。

問題概要

H \times W のグリッドが与えられる。各マスは '0', '1', '?' のいずれかの文字が書かれている。各 '?' を 0 か 1 で埋める方法のうち、以下の条件を満たすものが何通りあるか、1000000007 で割ったあまりを求めよ。

  • グリッド内のどの 2 \times 2 の正方形をとっても
    • その正方形内に含まれる 0 の個数は 2 個
    • その正方形内に含まれる 1 の個数は 2 個

制約

  • 2 \le H, W \le 100

解法

この手の「よくわからない条件」は、わかりやすく言い換えることが大事！！！

まず最初の行については 2^{W} 通りのパターンが考えられる。そのうち、

  • "010101..."
  • "101010..."

以外については、必ず「0 が連続している箇所」か「1 が連続している箇所」が含まれることに注目する。

そしてたとえば「0 が連続している箇所」があると、その下の行はちょうど 0 と 1 を反転したものにしかならないことが言えるのだ。たとえば下の例では、"11111" の下は "00000" しかありえない。そしてそこを起点として、左右に値が確定していくイメージ。

101011111010
????????????
↓
101011111010
????00000???
↓
101011111010
010100000101

唯一の例外は "01010101..." のように、0 と 1 が交互しているパターン。このときは下のように、「自分自身」と「反転したパターン」の両方がありうる。

01010101　　01010101
01010101　　10101010

実はこのパターンは

  • 列方向の 01 列を自由に決めて
  • 各列は交互に 0 と 1 が反転したもの

とみなすことができる。先ほどの条件の縦・横が反転したバージョンと言える。以上をまとめると、条件を満たすような「01 の埋め方」は次のいずれかとなる。

  • 最初の行を任意に決めた、その後の行は交互に 0 と 1 が反転したものとなる
  • 最初の列を任意に決めて、その後の列は交互に 0 と 1 が反転したものとなる

(「市松模様」の場合が重複することに注意)

数える

以上を踏まえて実際に数えることにする。「最初の列を任意に決める」というパターンに関しては、転置をとることで「最初の行を任意に決める」というパターンに帰着させることにする。

ただし「市松模様」という場合が重複するので、それを最後に除くことにする。

さて、「最初の行の 0-1 列」を決めると、その後のすべての行の 0-1 列が決まることに着目すると、逆に、その後の各行の 0-1 の情報から、最初の行がどのようになっていなければならないかを逆算できることになる。具体的には、最初の行の j 列目の値を a[j] とすると、

  • 各列 j について
  • i 行目が 0 であったとき
    • i が偶数ならば、a[j] = 0
    • i が奇数ならば、a[j] = 1
  • i 行目が 1 であったとき
    • i が偶数ならば、a[j] = 1
    • i が奇数ならば、a[j] = 0

という風にもとまる。途中で矛盾が発生した場合は 0 通りとなる。このようにして a[j] の値を求めて行ったとき、a[j] の値が確定しなかった「?」の個数を m とすると、 2^{m} 通りと求められる。

以上で計算量は O(HW) となる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() const { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        if (n < 0) return modpow(modinv(r), -n);
        auto t = modpow(r, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * r;
        return t;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        return Fp<MOD>(u);
    }
};

const int MOD = 1000000007;
using mint = Fp<MOD>;

// 左上を val とした市松模様が valid かどうか
bool isValid(const vector<string> &fi, int val) {
    for (int i = 0; i < fi.size(); ++i) {
        for (int j = 0; j < fi[0].size(); ++j) {
            if (fi[i][j] == '0' && (i+j+val) % 2 == 1) return false;
            if (fi[i][j] == '1' && (i+j+val) % 2 == 0) return false;
        }
    }
    return true;
}

// 最初の行としてありうるものの個数
mint solve(const vector<string> &fi) {
    int jiyudo = 0;
    for (int j = 0; j < fi[0].size(); ++j) {
        set<int> se;
        for (int i = 0; i < fi.size(); ++i) {
            if (fi[i][j] == '0') {
                if (i % 2 == 0) se.insert(0);
                else se.insert(1);
            }
            else if (fi[i][j] == '1') {
                if (i % 2 == 0) se.insert(1);
                else se.insert(0);
            }
        }
        if (se.size() == 2) return mint(0);
        if (se.size() == 0) ++jiyudo;
    }
    return modpow(mint(2), jiyudo);
}

int main() {
    int H, W;
    cin >> H >> W;
    vector<string> fi(H);
    for (int i = 0; i < H; ++i) cin >> fi[i];
    mint res = solve(fi);
    vector<string> se(W, string(H, '?'));
    for (int j = 0; j < W; ++j) for (int i = 0; i < H; ++i) se[j][i] = fi[i][j];
    res += solve(se);
    mint sub = 0;
    if (isValid(fi, 0)) sub += 1;
    if (isValid(fi, 1)) sub += 1;
    res -= sub;
    cout << res << endl;
}