2024-05-28

AtCoder ABC 173 E - Multiplication 4 (1D, 青色, 500 点)

NoviSteps1D データ構造テク：差分更新最適化の考察：最適解の形を考える最適化問題最大スコア数列コーナーケース負値が本質的に効く問題 AtCoder AtCoder500点 ABC-E 青色diff 制約条件:ちょうどK個 N個からK個を選ぶ設定の問題考察：ソート考察：順序を工夫して解く凸性に着目する

$N$ 個から $K$ 個を選ぶ設定の問題！

問題へのリンク

問題概要

$N$ 個の整数値 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{N}$ が与えられる (負値もありうる)。

これらの整数から $K$ 個選んで積をとった値の最大値を、1000000007 で割った余りを求めよ。

制約

$1 \le K \le N \le 2 \times 10^{5}$
$|A_{i}| \le 10^{9}$

考えたこと

本質的に、次の 2 パターンに分かれると考えた。

パターン 1： $K$ 個の積をどのように選んでも負値になる場合
パターン 2： $K$ 個の積を 0 以上にすること可能である場合

パターン 1 になるための必要十分条件をまず考えることにする。 $N$ 個の整数のうち、負値の個数を $m$ 、0 以上の個数を $p$ としたとき、

min(m, K) / 2 * 2 + p < K

が必要十分条件となる。この場合は、絶対値を小さくするのがよいので、 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{N}$ を絶対値の小さい順にソートして、その順に $K$ 個の積をとれば OK。

$K$ 個の積を 0 以上にすること可能である場合

残るパターンを考える。まず、 $N$ 個の値 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{N}$ を「負値」と「0 以上」とに分けることとした:

minus ← $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{N}$ のうち、負値であるものの集合
plus ← $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{N}$ のうち、0 以上であるものの集合

ここで、minus から大きい順に min(minus.size(), K) / 2 * 2 個 (最大個数) 選び、残りを plus から大きい順に選ぶという方法を基準に考えることとした。

この状態からスタートして「minus から選ぶ個数を 2 減らす」「plus から選ぶ個数を 2 増やす」という操作を繰り返して、積が最大になる地点を見出したい。

難しいのは、"1000000007 で割った余り" をとってしまうと大小比較ができないことだ。これについては、次のように考えた。

「minus から選ぶ個数を 2 減らす」ときの、その 2 数の積を $X$
「plus から選ぶ個数を 2 増やす」ときの、その 2 数の積を $Y$

としたときに、

$X \lt Y$ であれば、 $K$ 個の数の積は大きくなる
$X \ge Y$ であれば、 $K$ 個の数の積は小さくなる

と考えられる。ここで、一度でも $X \ge Y$ という関係が成立した場合、その後の操作でもずっと $X \ge Y$ という関係が成立することに着目しよう (容易に証明できる)。

よって、 $X \lt Y$ である限りは、操作を実行していけばよい。この解法の計算量は $O(N \log N)$ となる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    // inner value
    long long val;

    // constructor
    constexpr Fp() : val(0) { }
    constexpr Fp(long long v) : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr long long get() const { return val; }
    constexpr int get_mod() const { return MOD; }

    // arithmetic operators
    constexpr Fp operator + () const { return Fp(*this); }
    constexpr Fp operator - () const { return Fp(0) - Fp(*this); }
    constexpr Fp operator + (const Fp &r) const { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp &r) const { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp &r) const { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp &r) const { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp &r) {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp &r) {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp &r) {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp &r) {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp pow(long long n) const {
        Fp res(1), mul(*this);
        while (n > 0) {
            if (n & 1) res *= mul;
            mul *= mul;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    constexpr Fp inv() const {
        Fp res(1), div(*this);
        return res / div;
    }

    // other operators
    constexpr bool operator == (const Fp &r) const {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp &r) const {
        return this->val != r.val;
    }
    constexpr Fp& operator ++ () {
        ++val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -- () {
        if (val == 0) val += MOD;
        --val;
        return *this;
    }
    constexpr Fp operator ++ (int) const {
        Fp res = *this;
        ++*this;
        return res;
    }
    constexpr Fp operator -- (int) const {
        Fp res = *this;
        --*this;
        return res;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD> &x) {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD> &x) {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> pow(const Fp<MOD> &r, long long n) {
        return r.pow(n);
    }
    friend constexpr Fp<MOD> inv(const Fp<MOD> &r) {
        return r.inv();
    }
};

// Binomial coefficient
template<class mint> struct BiCoef {
    vector<mint> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].get_mod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr mint com(int n, int k) const {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr mint fact(int n) const {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr mint inv(int n) const {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr mint finv(int n) const {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

const int MOD = 1000000007;
using mint = Fp<MOD>;

int main() {
    int N, K;
    cin >> N >> K;
    vector<long long> A(N), plus, minus, all;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        cin >> A[i];
        if (A[i] >= 0) plus.push_back(A[i]), all.push_back(A[i]);
        else minus.push_back(-A[i]), all.push_back(-A[i]);
    }
    sort(plus.begin(), plus.end(), greater<long long>());
    sort(minus.begin(), minus.end(), greater<long long>());
    sort(all.begin(), all.end());

    // 0 以下であることが確定する場合：絶対値が最小になるようにする
    if (min((int)minus.size(), K) / 2 * 2 + plus.size() < K) {
        mint res = -1;
        for (int i = 0; i < K; ++i) res *= all[i];
        cout << res << endl;
        return 0;
    }

    // 理論上最も多くの偶数個の「－」を取る場合を最初に求める
    int m = min((int)minus.size(), K) / 2 * 2;
    mint res = 1;
    for (int i = 0; i < m; ++i) res *= minus[i];
    for (int j = 0; j < K - m; ++j) res *= plus[j];

    // 「－」側を 2 個減らし、「＋」を 2 個増やすことで、答えが増加する限り、それを繰り返す
    for (int i = m - 2, j = K - i; i >= 0 && j <= plus.size(); i -= 2, j += 2) {
        if (minus[i] * minus[i+1] > plus[j-1] * plus[j-2]) break;
        res /= minus[i], res /= minus[i+1], res *= plus[j-1], res *= plus[j-2];
    }
    cout << res << endl;
}